抽象代数 · 第1章 · 预备知识

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◎学习目标

复习集合语言：属于 $\in$、子集 $\subseteq$、相等、空集 $\varnothing$、有限集与无限集；会用描述法 $A = \{a \in S \mid P(a)\}$ 表示集合，记住本书常用数集 $\mathbf{Z}, \mathbf{N}, \mathbf{Q}, \mathbf{R}, \mathbf{C}$ 的固定记号；
掌握并、交、补三种集合运算的定义，熟记命题 1-1 的五组性质（交换律、结合律、分配律、De Morgan 公式等），会证 De Morgan 公式；
理解指标集的概念，会把并与交推广到任意一族集合：$\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha}$ 与 $\bigcap_{\alpha \in I} A_{\alpha}$；
掌握 Cartesian 积 $A \times B$ 的定义（有序偶全体）及两个元素相等的充要条件，了解向 $n$ 个集合与一族集合 $\{A_{\alpha}\}_{\alpha \in I}$ 的推广（$I$ 上函数全体）；
掌握关系与等价关系（自反性、对称性、传递性）的定义，会逐条验证具体关系是等价关系；
理解等价类 $[a]$、商集 $A/\sim$ 与分划的概念；掌握「等价类不重合必不相交」与「等价关系 ⟷ 分划」（命题 3-1）；认识模 $n$ 剩余类集 $\mathbf{Z}_n$；
掌握映射、像 $\operatorname{Im} f$、原像、满映射 / 单映射 / 双射（一一对应）的定义及充要条件；理解逆映射与合成 $g \cdot f$；
记住映射合成满足结合律（命题 4-1）以及用「左逆 / 右逆」刻画单射、满射、双射的命题 4-2；
掌握二元运算（$S \times S \to S$ 的映射）的概念与结合律、交换律、左 / 右分配律的定义；
了解偏序集、全序集、链、极大元、上界等概念（选修 §1.6）；知道 Zorn 引理的内容及其与选择公理的等价关系。

1集合 §1.1

本章引言初等代数以数（整数、有理数、实数、复数等）及其运算作为基本的研究对象；高等代数把研究对象扩展到向量、矩阵及其运算。从本章起，我们要研究一般集合及其上的运算——对一般集合上运算的研究可以大大拓广数学研究的领域，为数学的应用开辟广阔的道路。为了更好地理解抽象代数的内容，有必要先介绍集合论的一些基本概念。本书不打算「严格」地阐述这些数学中最基本的概念（读者可以在公理集合论的课程中学到它们的严格定义），只打算「朴素」地叙述其含义。

所谓一个集合，我们把它理解为某一些事物的总体。比如整数集就是指整数全体，有理数集是指有理数全体等等。集合常用英文大写字母表示，如 $A, B, C$；集合中的某个具体事物称为元素，元素常用小写字母表示，如 $a, b, c$。我们用 $\in$ 表示属于：$a \in A$ 表示 $a$ 是集合 $A$ 中的元素；若 $a$ 不是集合 $A$ 中的元素，用 $a \notin A$ 表示。不含有任何元素的集合称为空集，用 $\varnothing$ 表示。一个集合如果只含有有限个元素，则称为有限集，反之则称为无限集。集合 $A$ 中一部分元素组成的集合称为 $A$ 的子集；若 $B$ 是 $A$ 的子集，用符号 $B \subseteq A$ 表示。两个集合如果含有相同的元素，则称为相等——换句话说，若 $A \subseteq B$ 又 $B \subseteq A$，则 $A = B$；若 $A, B$ 不相等，则用 $A \neq B$ 表示。

为了清楚地表示一个集合，经常采用描述法：

A = \{a \in S \mid P(a)\},

它表示 $A$ 中的元素来自 $S$ 且具有性质 $P$。举例来说：集合 $A = \{a \in \mathbf{Z} \mid a \gt 1\}$ 表示大于 $1$ 的整数（即 $2, 3, 4, \dots$）；又若记 $D$ 是 Descartes 平面上点的集合（元素用实数偶 $(x, y)$ 表示），则 $S = \{(x, y) \in D \mid x^2 + y^2 = 1\}$ 就表示该平面上的单位圆。

本书固定记号 · 常用数集

记号	含义
$\mathbf{Z}$	整数集 $\{0, \pm 1, \pm 2, \cdots\}$
$\mathbf{N}$	自然数集 $\{1, 2, 3, \cdots\}$
$\mathbf{Q}$	有理数集
$\mathbf{R}$	实数集
$\mathbf{C}$	复数集

定义 1-1 · 并设 $A, B$ 是两个集合，记 $A \cup B$ 为 $A, B$ 中所有元素组成的集合，即

A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B\},

称 $A \cup B$ 为集合 $A$ 与 $B$ 的并。

例 1 若 $A = \{a, b, c\}$，$B = \{b, c, d, e\}$，则 $A \cup B = \{a, b, c, d, e\}$。

定义 1-2 · 交设 $A, B$ 是两个集合，记 $A \cap B$ 为既属于 $A$ 又属于 $B$ 的元素组成的集合，即

A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ 又 } x \in B\},

称 $A \cap B$ 为集合 $A$ 与 $B$ 的交。

例 2 记 $A, B$ 为例 1 中的两个集合，则 $A \cap B = \{b, c\}$。

若两个集合 $A, B$ 无公共元素，即 $A \cap B = \varnothing$，则称 $A$ 与 $B$ 不相交。

定义 1-3 · 余集（补集）设 $B$ 是 $A$ 的子集，记

A - B = \{a \in A \mid a \notin B\},

即 $A - B$ 是由 $A$ 中不属于 $B$ 的元素构成的集合，称 $A - B$ 为 $B$ 在 $A$ 中的余集或补集，有时也记为 $A \backslash B$。

并、交、补都是集合之间最常用的运算，它们有下列性质。

命题 1-1 · 集合运算的基本性质设 $A, B, C$ 都是集合，则有下列性质：

若 $A \subseteq B$，则 $A \cup B = B$，$A \cap B = A$；特别地，$A \cup A = A$，$A \cap A = A$；
$A \cup B = B \cup A$，$A \cap B = B \cap A$；
$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$，$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$；
$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$，$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$；
若 $A, B$ 是 $C$ 的子集，则 $\[ C - (C - A) = A, \]$ $C - (A \cap B) = (C - A) \cup (C - B),$ $C - (A \cup B) = (C - A) \cap (C - B).$

证明（点击展开）——原书只证 (5) 中第二式，其余请读者自证

要证 $C - (A \cap B) = (C - A) \cup (C - B)$，证两个包含关系。

先证「$\subseteq$」：设 $x \in C - (A \cap B)$，即 $x \in C$ 且 $x \notin A \cap B$。这时若 $x \notin C - A$，则（注意已有 $x \in C$）必有 $x \in A$，即 $x \in C - (C - A) = A$；但由假定 $x \notin A \cap B$，故 $x \notin B$，也就是说 $x \in C - B$。从而 $x \in (C - A) \cup (C - B)$，于是 $C - (A \cap B) \subseteq (C - A) \cup (C - B)$。

再证「$\supseteq$」：若 $x \in (C - A) \cup (C - B)$，不妨设 $x \in C - A$。显然 $C - A \subseteq C - (A \cap B)$（不属于 $A$ 当然更不属于 $A \cap B$），故 $x \in C - (A \cap B)$。于是 $(C - A) \cup (C - B) \subseteq C - (A \cap B)$。

两个包含都成立，故 $C - (A \cap B) = (C - A) \cup (C - B)$。证毕。

注 · 各条性质的名字性质 (2) 称为交换律，性质 (3) 称为结合律，性质 (4) 称为分配律，性质 (5) 中的式子通常称为 De Morgan 公式（德摩根公式）。由于结合律成立，$(A \cup B) \cup C$ 及 $(A \cap B) \cap C$ 可分别记为 $A \cup B \cup C$ 及 $A \cap B \cap C$，即括号可以省略。

1.1 指标集与任意多个集合的并、交

并与交的概念可以推广到任意个集合上。为此先引进「指标集」的概念：设有集合 $I$ 及一族集合 $F = \{A_{\alpha}, A_{\beta}, \cdots\}$，对每个 $\alpha \in I$，均可在 $F$ 中找到唯一的一个集合 $A_{\alpha}$ 与之对应；反之 $F$ 中任一集合也可在 $I$ 中找到唯一的一个元素与之对应。粗略地说，$F$ 中的集合可以用 $I$ 来标记，这样的集合 $I$ 就称为集族 $F$ 的指标集。

举例来说：设数学系二年级有 4 个班（甲班、乙班、丙班、丁班），若 $F = \{\text{甲班，乙班，丙班，丁班}\}$，则 $I = \{\text{甲，乙，丙，丁}\}$ 就是 $F$ 的指标集。指标集 $I$ 可以是无穷集：比如 $I = \mathbf{N}$（自然数集）时，$F = \{A_i\}_{i \in I}$ 就表示 $F = \{A_1, A_2, A_3, \cdots\}$。

现令 $\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha}$ 表示所有 $A_{\alpha}\,(\alpha \in I)$ 的元素组成的集合，即

\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha} = \{x \mid x \text{ 属于某个 } A_{\alpha}\},

称 $\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha}$ 为 $\{A_{\alpha}, \alpha \in I\}$ 的并。类似地，令 $\bigcap_{\alpha \in I} A_{\alpha}$ 表示所有 $A_{\alpha}\,(\alpha \in I)$ 中公共元素组成的集合，即

\bigcap_{\alpha \in I} A_{\alpha} = \{x \mid x \text{ 属于每个 } A_{\alpha}\},

称 $\bigcap_{\alpha \in I} A_{\alpha}$ 为 $\{A_{\alpha}, \alpha \in I\}$ 的交。

2Cartesian 积 §1.2

定义 2-1 · Cartesian 积设 $A, B$ 是集合，有序偶 $(a, b)$（其中 $a \in A,\ b \in B$）全体组成的集合称为 $A$ 与 $B$ 的 Cartesian 积（简称为 $A$ 与 $B$ 的积），记为 $A \times B$，即

A \times B = \{(a, b) \mid a \in A,\ b \in B\}.

注意 · 有序偶的相等 $A \times B$ 中两个元素 $(a, b) = (c, d)$ 的充要条件是 $a = c$ 且 $b = d$。「有序」是关键：两个分量既要比相等、又要比顺序。

例 1 $A = \{a, b, c\}$，$S = \{u, v\}$，则

A \times S = \{(a, u),\, (a, v),\, (b, u),\, (b, v),\, (c, u),\, (c, v)\}.

例 2 若 $A = B = \mathbf{R}$（实数集），则 $A \times B = \mathbf{R} \times \mathbf{R} = \{(x, y) \mid x, y \in \mathbf{R}\}$，就是 Descartes 平面。

2.1 推广：$n$ 个集合与一族集合的 Cartesian 积

积集合的概念也可以推广到 $n$ 个甚至无穷多个集合。设 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 是 $n$ 个集合，令

A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n = \{(a_1, a_2, \cdots, a_n) \mid a_i \in A_i\},

即 $n$ 元有序序列全体的集合（第 $i$ 个元取自 $A_i$），称为 $A_1, \cdots, A_n$ 的 Cartesian 积。

对一族集合 $\{A_{\alpha}, \alpha \in I\}$，也可以定义所有 $A_{\alpha}$ 的 Cartesian 积：令 $A$ 是这样一个集合，它的元素是集合 $I$ 上这样的函数 $a$——对每个 $\alpha \in I$，有 $a(\alpha) \in A_{\alpha}$。这个 $A$ 就称为 $\{A_{\alpha}\}$ 的 Cartesian 积，记为 $\underset{\alpha \in I}{\times} A_{\alpha}$。这个定义适合于一般的指标集 $I$，无论 $I$ 有限或无限。比如对 $A_1, \cdots, A_n$ 的情形，这时 $I = \{1, 2, \cdots, n\}$，对 $i \in I$ 有 $a(i) = a_i \in A_i$，这样得到的 $A$ 与上面定义的 $A_1 \times \cdots \times A_n$ 完全一致。

为什么要研究积集合利用积集合，我们不仅可以从已知集合构造出新的集合，还可以定义在数学中起着极其重要作用的等价关系、映射等基本概念——这正是接下来两节的内容。事实上，本章后面的「关系」「二元运算」都建立在积集合之上：关系是 $A \times B$ 的子集，二元运算是 $S \times S \to S$ 的映射。

3等价关系与商集 §1.3

定义 3-1 · 关系设 $A, B$ 是集合，积集合 $A \times B$ 的一个子集 $R$ 就称为 $A$ 到 $B$ 的一个关系；特别地，$A \times A$ 的子集称为 $A$ 上的一个关系。

若 $(a, b) \in R \subseteq A \times B$，则称 $a$ 与 $b$ 为 $R$ 相关，记为 $a\,R\,b$。也就是说，「关系」这个直观概念在数学上就是用一个子集来刻画的：相关与否就看有序偶是否落在子集 $R$ 里。

定义 3-2 · 等价关系设 $R$ 是 $A$ 上的一个关系，若 $R$ 适合下列条件：

自反性：若 $a \in A$，则 $(a, a) \in R$；
对称性：若 $(a, b) \in R$，则 $(b, a) \in R$；
传递性：若 $(a, b) \in R,\ (b, c) \in R$，则 $(a, c) \in R$；

则关系 $R$ 称为 $A$ 上的一个等价关系。等价关系常用 $\sim$ 表示，即 $a \sim b$ 表示 $(a, b) \in R$。

例 1 – 例 5 · 等价关系的典型例子

例 1（恒等关系）：设 $S$ 是任意一个集合，$S \times S$ 中所有形如 $(a, a)$ 的元素全体构成的集合 $R$ 是一个等价关系，称为 $S$ 上的恒等关系，这时 $a \sim b$ 当且仅当 $a = b$；
例 2（奇偶同余）：设 $\mathbf{Z}$ 是整数集，定义 $a \sim b$ 当且仅当 $a - b$ 为偶数，即 $R = \{(a, b) \in \mathbf{Z} \times \mathbf{Z} \mid a - b \text{ 为偶数}\}$，不难验证这也是一个等价关系；
例 3（等距同心）：设 $D$ 是 Descartes 平面，定义 $D$ 中两点 $a \sim b$ 当且仅当 $a$ 与 $b$ 到原点的距离相等，则 $\sim$ 也是一个等价关系；
例 4（同直径）：设 $S$ 是平面上的一个圆，定义 $S$ 上两点 $a \sim b$ 当且仅当这两点同在一根直径上，则 $\sim$ 也是一个等价关系；
例 5（模 $n$ 同余）：设 $\mathbf{Z}$ 是整数集，$n$ 是固定的自然数，定义整数 $a \sim b$ 当且仅当 $a - b$ 可以被 $n$ 整除，则 $\sim$ 也是 $\mathbf{Z}$ 上的一个等价关系；当 $n = 2$ 时就是例 2。

3.1 等价类

现设 $\sim$ 是集合 $A$ 中的一个等价关系，$a$ 是 $A$ 的一个元素。与 $a$ 等价的元素全体组成 $A$ 的一个子集，称为 $a$ 的一个等价类，用 $[a]$ 表示 $a$ 的等价类。逐一分析上面的例子：

例 1 中 $a$ 的等价类只含有一个元素；
例 2 中 $a$ 的等价类为形如 $a + 2k\ (k \in \mathbf{Z})$ 的元素全体，这时 $\mathbf{Z}$ 只含有两个等价类：奇数与偶数；
例 3 中 $a$ 的等价类为以原点为圆心、过 $a$ 点的圆；
例 4 中每个等价类都含有两个元素（一条直径的两个端点）；
例 5 中的 $\mathbf{Z}$ 一共有 $n$ 个等价类：$[0], [1], \cdots, [n-1]$。

关键性质 · 等价类不重合必不相交一个集合中两个元素所在的等价类如不重合，则必不相交，即

[a] \neq [b] \ \Longrightarrow \ [a] \cap [b] = \varnothing.

证明（点击展开）——反证法 + 传递性

假如存在 $c \in [a] \cap [b]$，则 $a \sim c$ 且 $c \sim b$。由传递性知 $a \sim b$，于是 $[a] = [b]$（两个等价类有公共元素时，互相包含），与 $[a] \neq [b]$ 矛盾。故 $[a] \cap [b] = \varnothing$。

由此可以看出：如果一个集合上定义了一个等价关系，则这个集合可以被划分成互不相交的等价类之并。一个集合如果能表示为两两互不相交的非空子集之并，则称这些子集族为该集合的一个分划。上面的分析表明：集合上的一个等价关系决定了该集合的一个分划。

反过来，如果 $\{A_i\}_{i \in I}$ 是集合 $A$ 的一个分划，即

A_i \cap A_j = \varnothing \ (i \neq j), \qquad A = \bigcup_{i \in I} A_i,

在 $A$ 上定义关系 $R$ 如下：

R = \{(a, b) \in A \times A \mid a, b \text{ 属于同一个 } A_i\},

则容易验证 $R$ 是 $A$ 上的一个等价关系。因此，给定 $A$ 的一个分划，可以得到 $A$ 上的一个等价关系。事实上我们有如下的命题——等价关系与分划是「一件事的两种说法」。

命题 3-1 · 等价关系 ⟷ 分划设 $R$ 是集合 $A$ 上的一个等价关系，则 $R$ 决定了 $A$ 的一个分划 $P$，且由 $P$ 导出的等价关系就是 $R$。反之，给定 $A$ 的一个分划 $P$，则可得到 $A$ 上的一个等价关系 $R$，且由这个等价关系 $R$ 决定的 $A$ 的分划就是 $P$。

证明（点击展开）

第一步（$R$ 决定 $P$，再回到 $R$）：设 $R$ 是 $A$ 的等价关系，$P$ 是由等价类组成的分划，又记 $R'$ 是由 $P$ 决定的 $A$ 的等价关系。若 $(a, b) \in R$，则 $a, b$ 同属于 $P$ 的某个元素（即同在一个等价类中），于是 $(a, b) \in R'$，故 $R \subseteq R'$。反过来，若 $(a, b) \in R'$，则 $a, b$ 同属于 $P$ 中某个等价类，从而 $a \sim b$，即 $(a, b) \in R$，即 $R' \subseteq R$。由此即得 $R' = R$。

第二步（$P$ 决定 $R$，再回到 $P$）：设 $P = \{A_i\}_{i \in I}$ 是 $A$ 的一个分划，它决定的 $A$ 的等价关系记为 $R$。再由 $R$ 导出的分划记为 $P' = \{B_j\}_{j \in J}$。设 $a \in A$，且 $a$ 所在的分划块为 $A_i$。由于 $A = \bigcup_{j \in J} B_j$，故 $a$ 属于某个 $B_j$；现只需证明 $A_i = B_j$ 即可。

对 $A_i$ 中任一元 $c$，有 $c \sim a$；另一方面，$B_j$ 正是 $a$ 所在的等价类，故 $c \in B_j$，于是 $A_i \subseteq B_j$。反之，若 $b \in B_j$，则 $b \sim a$；但凡与 $a$ 等价的元素必须在 $a$ 所在的分划块 $A_i$ 之中，故 $B_j \subseteq A_i$。由此即推出 $A_i = B_j$，从而 $P' = P$。证毕。

定义 3-3 · 商集设 $\sim$ 是集 $A$ 上的一个等价关系，$A$ 上的所有等价类的集合称为 $A$ 关于等价关系 $\sim$ 的商集，记为 $A/\sim$ 或 $\overline{A}$。

注意 · 商集的元素是什么 $\overline{A}$ 实际上是 $A$ 的某些子集（全体等价类）组成的集合，即 $\overline{A}$ 中的元素是 $A$ 的子集而不是 $A$ 中的元素。若 $a \in A$，则 $a$ 的等价类作为 $\overline{A}$ 的元素通常记为 $\overline{a}$。

例 1 – 例 5 的商集

例 1 的商集 $\overline{S}$ 为 $S$ 中单点子集（只含一个元素的子集）组成的集合；
例 2 的商集只含两个元素：奇数集与偶数集；
例 3 的商集为 Descartes 平面上以原点为中心的圆全体组成的集合；
例 4 的商集是所谓的射影直线（每根直径的两端并成一点）；
例 5 的商集含 $n$ 个元素，分别记为 $\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \cdots, \overline{n-1}$，其中 $\overline{i}$ 表示由所有被 $n$ 除后余数等于 $i$ 的整数全体。这个商集记为 $\mathbf{Z}_n$，称为模 $n$ 剩余类集，我们以后还要仔细研究它（§2.1 将把 $\mathbf{Z}_n$ 升级成群）。

4映射 §1.4

定义 4-1 · 映射设 $A, B$ 是两个非空集合，$M$ 是 $A$ 到 $B$ 的一个关系（即 $M \subseteq A \times B$）。若 $M$ 适合下列条件：对 $A$ 中任一元素 $a$，有且只有一个 $B$ 中的元素 $b$，使 $(a, b) \in M$，则称 $M$ 是集合 $A$ 到 $B$ 的一个映射（或映照）。$A$ 称为这个映射的定义域，$B$ 称为映射的值域。

从映射的定义可以看出：对 $A$ 中任一元 $a$，有且仅有一个元 $b$ 与 $a$ 对应。这个对应关系有时记为 $a \to b$。映射习惯上用小写英文字母 $f, g$ 等表示；如上述映射记为 $f$，则 $b = f(a)$。$A$ 到 $B$ 的映射 $f$ 简记为

f: A \to B.

读者不难看出，映射是函数概念在集合上的推广。与函数一样，$A$ 到 $B$ 的两个映射 $f$ 与 $g$ 相等当且仅当 $f(a) = g(a)$ 对一切 $a \in A$ 成立。

例 1 – 例 6 · 常见映射

例 1（恒等映射）：$S \to S$ 的映射 $a \to a$ 称为恒等映射，记为 $Id_S$ 或 $I_S$；
例 2（常值映射）：$A, B$ 是两个非空集，$b_0 \in B$，令 $f: A \to B$ 为 $f(a) = b_0$（对一切 $a \in A$），则 $f$ 是一个映射，称为常值映射；
例 3：设 $\mathbf{R}$ 是实数集，$f(x) = x^2$ 定义了 $\mathbf{R} \to \mathbf{R}$ 的一个映射；
例 4（运算也是映射）：设 $\mathbf{Z}$ 是整数集，定义 $\mathbf{Z} \times \mathbf{Z} \to \mathbf{Z}$ 的映射 $(m, n) \to m + n$，这实际上是一个（二元）运算（见 §1.5）；
例 5（投影）：设 $A, B$ 是非空集，作 $A \times B \to A$ 的映射 $(a, b) \to a$，称为 $A \times B$ 到 $A$ 上的投影；同样也可以定义 $A \times B$ 到 $B$ 上的投影；
例 6（自然映射）：设 $A$ 是非空集，$\sim$ 是 $A$ 上的等价关系，$\overline{A}$ 是商集。定义 $A \to \overline{A}$ 的映射为 $a \to \overline{a}$，即将 $A$ 中元素映到它所在的等价类上，称为 $A$ 到其商集上的自然映射。

4.1 像、原像与 $\operatorname{Im} f$

现设 $f: A \to B$，$a \in A$，则称 $f(a)$ 为 $a$ 在 $f$ 下的像。令

\operatorname{Im} f = \{b \in B \mid b = f(a) \text{ 对某个 } a \in A\},

即 $\operatorname{Im} f$ 为 $A$ 中元素在 $f$ 下的像全体，称为 $A$ 在 $f$ 下的像，有时记为 $f(A)$。若 $b \in B$ 且存在 $a \in A$ 使 $b = f(a)$，则称 $a$ 是 $b$ 关于 $f$ 的一个原像。注意原像可能不唯一——即可能存在 $a' \neq a$，但 $f(a) = f(a')$：如例 2 中的 $A$ 若包含不止一个元素，则常值映射的原像就不唯一。$b$ 的所有原像的全体构成 $A$ 的一个子集，记为 $f^{-1}(b)$；又若 $B' \subseteq B$，$B'$ 中所有元素在 $A$ 中的原像记为 $f^{-1}(B')$。

笔记注 · 「值域」一词的两种用法本书把到达集合 $B$ 称为映射的「值域」，而把 $\operatorname{Im} f = f(A)$ 称为「像」。现代不少教材则把 $B$ 称为陪域（codomain），把 $\operatorname{Im} f$ 称为「值域」。两种叫法并存，阅读不同书籍时请留意区分，关键是抓住两个不同的对象：$B$ 与 $f(A)$。

定义 4-2 · 满映射、单映射、双射设 $f: A \to B$：

若 $\operatorname{Im} f = B$，则称 $f$ 是映上映射或满映射（满射）；
若对 $A$ 中任意两个元素 $a \neq a'$，均有 $f(a) \neq f(a')$，则称 $f$ 是单映射（单射）；
若 $f$ 既是满映射又是单映射，则称 $f$ 是双射或一一对应。

从定义可以得到三个等价说法：$f$ 是满映射的充要条件是 $B$ 中任一元素均在 $A$ 中有原像；$f$ 是单映射的充要条件是 $\operatorname{Im} f$ 中的元素在 $A$ 中只有唯一的一个原像；$f$ 是双射的充要条件是 $B$ 中任一元素有且只有一个原像。

若 $f: A \to B$ 是一个双射，则对 $B$ 中任一元素 $b$ 均有唯一的元素 $a$ 与之对应。定义 $B \to A$ 的映射 $b \to a$，即它将 $B$ 中元素映到它（关于 $f$）的原像。显然这也是一个映射，称为 $f$ 的逆映射，记为 $f^{-1}$。

4.2 映射的合成

现设 $A, B, C$ 是 3 个非空集，$f: A \to B$，$g: B \to C$ 为映射。定义 $g$ 与 $f$ 的积 $g \cdot f$ 为 $A \to C$ 的映射：

g \cdot f\,(a) = g(f(a)).

映射 $g \cdot f$ 也称为 $f$ 与 $g$ 的合成，$g \cdot f$ 有时简记为 $gf$。只要一个映射的值域（到达集合）与另一个映射的定义域相同，它们便可以合成。映射合成满足结合律，即有下述命题。

命题 4-1 · 合成的结合律设 $f: A \to B$，$g: B \to C$，$h: C \to D$ 为映射，则

(h \cdot g) \cdot f = h \cdot (g \cdot f).

证明（点击展开）

对任意的 $x \in A$：

(h \cdot g) \cdot f\,(x) = (h \cdot g)(f(x)) = h\big(g(f(x))\big),

h \cdot (g \cdot f)\,(x) = h\big(g \cdot f(x)\big) = h\big(g(f(x))\big).

两者对一切 $x \in A$ 相等，由映射相等的定义即知 $(h \cdot g) \cdot f = h \cdot (g \cdot f)$。证毕。

结合律成立后，三个映射的合成可以不加括号地写成 $h \cdot g \cdot f$。

命题 4-2 · 用「左逆 / 右逆」刻画单射、满射、双射设 $f: A \to B$ 是映射（$A \neq \varnothing$），则：

$f$ 是单映射的充要条件是存在 $g: B \to A$，使 $g \cdot f = I_A$（$f$ 有左逆）；
$f$ 是满映射的充要条件是存在 $g: B \to A$，使 $f \cdot g = I_B$（$f$ 有右逆）；
$f$ 是双射的充要条件是存在 $g: B \to A$，使 $g \cdot f = I_A$ 且 $f \cdot g = I_B$。

证明（点击展开）

(1) 若 $f$ 是单映射，$\operatorname{Im} f$ 是其像，设 $B' = B - \operatorname{Im} f$。定义 $B \to A$ 的映射 $g$ 如下：若 $b \in \operatorname{Im} f$，令 $g(b)$ 为 $b$ 在 $f$ 下的唯一原像（即 $f^{-1}(b)$ 中的那个元素）；又因为 $A$ 不空，所以至少含一个元 $a_0$，对一切 $b' \in B'$，令 $g(b') = a_0$。显然我们定义了 $B \to A$ 的映射，且 $g \cdot f = I_A$。

反之若 $g \cdot f = I_A$，且 $f(a_1) = f(a_2)$，则 $g f(a_1) = g f(a_2)$，即 $a_1 = a_2$。这证明 $f$ 是单映射。

(2) 设 $f$ 是满映射。先证明：若 $b_1 \neq b_2$，则 $f^{-1}(b_1) \cap f^{-1}(b_2) = \varnothing$。事实上，若 $a \in f^{-1}(b_1) \cap f^{-1}(b_2)$，则 $b_1 = f(a) = b_2$，与假设矛盾。这样，$B$ 中元素的原像集组成了 $A$ 上的一个分划 $P = \{f^{-1}(b) \mid b \in B\}$。在每一个非空的 $f^{-1}(b)$ 中取且只取一个元素^①，定义 $B \to A$ 的映射 $g$ 如下：$g(b)$ 等于 $f^{-1}(b)$ 中取定的那个元素。不难看出 $g$ 是 $B \to A$ 的映射且适合 $f g = I_B$。

反过来，若存在 $g: B \to A$ 使 $f g = I_B$，设 $b$ 是 $B$ 中任意一个元素，则 $g(b) \in A$，且 $f g(b) = b$，即 $g(b) \in f^{-1}(b)$，因此 $b$ 有原像，$f$ 是满映射。

(3) 由 (1) 和 (2) 即得：双射时既可取左逆又可取右逆，两者必相等（都等于逆映射 $f^{-1}$）。证毕。

原注① · 选择公理事实上我们在这里应用了选择公理，在本教程中我们始终接受选择公理。（命题 4-2 (2) 中「在每一个 $f^{-1}(b)$ 中取且只取一个元素」正是需要选择公理的场合；当 $B$ 为无限集时无法逐一明确地「取出」。）

5二元运算 §1.5

定义 5-1 · 二元运算设 $S$ 是一个集合，$S \times S \to S$ 的一个映射称为 $S$ 上的一个二元运算。

二元运算就是「把集合中有序的两个元素拼成唯一一个仍是本集合中的元素」的规则——注意它对封闭性（结果仍在 $S$ 中）与唯一性（像唯一）都有要求，这正是「映射」二字的含义。

例 1 – 例 5 · 二元运算的例子

例 1（数的加法）：$\mathbf{Z} \times \mathbf{Z} \to \mathbf{Z}$ 的映射 $(a, b) \to a + b$ 是一个二元运算，称为加法运算；
例 2（向量加法）：设 $V$ 是实 $n$ 维向量空间，$V \times V \to V$ 的映射 $(u, v) \to u + v$ 也是一个二元运算；
例 3（矩阵乘法）：设 $M_n(\mathbf{R})$ 是实 $n$ 阶矩阵全体，$M_n(\mathbf{R}) \times M_n(\mathbf{R}) \to M_n(\mathbf{R})$ 的映射 $(A, B) \to A \cdot B$（通常的矩阵乘法）也是一个二元运算；
例 4（集合的并与交）：设 $S$ 是一个集合，$P(S)$ 是由 $S$ 的所有子集（包括空集）组成的集合（幂集）。$P(S) \times P(S) \to P(S)$ 的映射 $(A, B) \to A \cup B$ 以及 $(A, B) \to A \cap B$ 都是 $P(S)$ 上的二元运算；
例 5（取最小值）：设 $\mathbf{R}$ 是实数集，$\mathbf{R} \times \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ 的映射 $(x, y) \to \min(x, y)$ 也是一个二元运算。

在同一个集合上可以定义各种不同的运算，比如在 $\mathbf{Z}$ 上可以定义加法、减法、乘法等等。这些运算通常适合一定的规律，常见的规律有：结合律、交换律、分配律等。为了叙述这些规律，把二元运算的记法简化：用 $*$ 表示运算，$(a, b)$ 在二元运算（作为映射）下的像记为 $a * b$。不同的运算可用不同的记号（如 $*$、$\cdot$ 等）表示。

定义 5-2 · 运算律设 $*$、$\cdot$ 是集 $S$ 上的两种运算：

若对任意的 $a, b, c \in S$，均有 $\[ a * (b * c) = (a * b) * c, \]$ 则称运算 $*$ 满足结合律；
若对任意的 $a, b \in S$，均有 $\[ a * b = b * a, \]$ 则称 $*$ 满足交换律；
若对任意的 $a, b, c \in S$，均有 $a * (b \cdot c) = (a * b) \cdot (a * c),$ 则称 $*$ 关于 $\cdot$ 适合左分配律；又若 $(b \cdot c) * a = (b * a) \cdot (c * a),$ 则称 $*$ 关于 $\cdot$ 适合右分配律。同时适合左、右分配律者称为适合分配律。

若 $S$ 上的运算 $*$ 适合结合律，则 $a * (b * c) = (a * b) * c$，我们把这个相同的元素记为 $a * b * c$，而省去括号——这与命题 1-1 之后「并交运算因结合律而可省括号」是同一个道理。

运算概念的进一步推广利用映射的概念，还可以将二元运算的概念作推广：比如可以定义所谓的 $n$ 元运算为 $S \times \cdots \times S \to S$ 的映射；我们还将 $S \times T \to S$ 的映射也称为一种运算——比如实向量空间 $V$ 上的数乘可看成是 $V \times \mathbf{R} \to V$ 的映射。所有这些概念极大地拓广了数集上运算的概念。

6偏序与 Zorn 引理 §1.6 · 选修

本节带星号（$*$§1.6），是选修内容。它介绍的 Zorn 引理将在后文（如第四章证明「任一代数闭域的存在性」等）发挥作用，初读时可先掌握概念与引理的表述。

定义 6-1 · 偏序关系设 $A$ 是一个非空集，$P$ 是 $A$ 上的一个关系。若 $P$ 适合下列条件：

对任意的 $a \in A$，$(a, a) \in P$（自反性）；
若 $(a, b) \in P$ 且 $(b, a) \in P$，则 $a = b$（反对称性）；
若 $(a, b) \in P,\ (b, c) \in P$，则 $(a, c) \in P$（传递性），

则称 $P$ 是 $A$ 上的一个偏序关系。带偏序关系的集合 $A$ 称为偏序集或半序集。若 $P$ 是 $A$ 上的偏序关系，我们用 $a \leqslant b$ 来表示 $(a, b) \in P$。

例 1 – 例 3 · 偏序集的例子

例 1：实数集上的小于等于关系是一个偏序关系；
例 2（包含序）：设 $S$ 是集合，$P(S)$ 是 $S$ 的所有子集构成的集合。定义 $P(S)$ 中两个元素 $A \leqslant B$ 当且仅当 $A \subseteq B$，则 $P(S)$ 在这个关系下成为偏序集；
例 3（整除序）：设 $\mathbf{N}$ 是正整数集，定义 $m \leqslant n$ 当且仅当 $m$ 能整除 $n$，不难验证这是一个偏序关系。注意它不同于 $\mathbf{N}$ 上的自然序关系。

在偏序集中，并非任意两个元素之间都有序关系——比如例 3 中数 $2$ 与数 $3$ 互相间没有整除关系。但是有一类偏序集，其中任意两个元素均有序关系：即若 $a, b \in S$，或者 $a \leqslant b$ 或者 $b \leqslant a$，这样的偏序集称为全序集。一个偏序集中的全序子集称为该偏序集的一根「链」。例 1 是全序集，例 2、例 3 一般不是。

为方便起见，记 $b \lt a$ 表示 $b \leqslant a$ 且 $b \neq a$。偏序集中的一个元素 $c$ 称为极大元，若不存在该集中的元素 $a$，使得 $c \lt a$。有限偏序集总存在极大元，无限偏序集有可能没有极大元——如例 1 中的实数集（自然序）就没有极大元。

若 $S$ 是一个偏序集，$A$ 是 $S$ 的子集，若存在 $c \in S$，且对 $A$ 中任意元 $a$ 均有 $a \leqslant c$，则称 $c$ 是子集 $A$ 的一个上界。注意，上界一般不唯一。

引理 6-1 · Zorn 引理设 $S$ 是一个偏序集，若 $S$ 中的每根链都有上界，则 $S$ 有极大元。

关于 Zorn 引理的地位与直观 Zorn 引理的证明要用到选择公理，本书不再给出其证明；反过来，从 Zorn 引理也可推出选择公理，因此Zorn 引理与选择公理是等价的，我们可以把它作为一条公理接受下来。可以这样来「想象」它的正确性（注意，这不是证明！）：取 $S$ 的任一链，其上界记为 $a_1$；若 $a_1$ 已是极大元，则引理正确；若 $a_1$ 不是极大元，则必有 $b_1$ 使 $a_1 \lt b_1$；若 $b_1$ 不是极大元，则又可找到 $b_2$ 使 $a_1 \lt b_1 \lt b_2$；如此下去又可得到 $S$ 的一根链，其上界记为 $a_2$；若 $a_2$ 是极大元就不必再找了，若不是又可重复下去。这样不断地做下去，总可找到极大元——因为任一链均有上界，这个「攀升」过程永远不会在半途卡死。

✎习题（原书第一章，共 8 题）

原书附录 III 对第一章习题未给出解答（标注「略」），以下「提示与简答」为笔记自行补充，供做完题后对照检查。建议先独立完成，再展开折叠框核对。

设 $\{A_{\alpha}\}_{\alpha \in I}$ 是集合 $S$ 的一族子集，证明下列公式： $S - \bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha} = \bigcap_{\alpha \in I} (S - A_{\alpha}), \qquad S - \bigcap_{\alpha \in I} A_{\alpha} = \bigcup_{\alpha \in I} (S - A_{\alpha}).$

提示与简答（笔记自拟 · 原书从略）

这是 De Morgan 公式（命题 1-1 (5)）对任意指标集的推广，用「双向包含 + 元素追踪」证明。对第一式：$x \in S - \bigcup_{\alpha} A_{\alpha}$ 意味着 $x \in S$ 且 $x$ 不属于任何 $A_{\alpha}$，等价于对每个 $\alpha$ 都有 $x \in S - A_{\alpha}$，即 $x \in \bigcap_{\alpha}(S - A_{\alpha})$。第二式完全平行：$x \in S - \bigcap_{\alpha} A_{\alpha}$ 意味着 $x \in S$ 且存在某个 $\alpha$ 使 $x \notin A_{\alpha}$，即 $x$ 属于某个 $S - A_{\alpha}$。两式合起来读就是：「并的补 = 补的交，交的补 = 补的并」。
设 $S$ 是一个有限集且有 $n$ 个元素，证明：$S$ 共有 $2^n$ 个子集（包括空集）。

提示与简答（笔记自拟 · 原书从略）

对 $n$ 作数学归纳法。$n = 1$ 时子集为 $\varnothing$ 与 $S$，共 $2 = 2^1$ 个。设结论对 $n-1$ 成立，取定 $a \in S$，把 $S$ 的子集分成两类：不含 $a$ 的子集恰好是 $S - \{a\}$ 的子集，共 $2^{n-1}$ 个；含 $a$ 的子集形如 $\{a\} \cup T$，其中 $T$ 取遍 $S - \{a\}$ 的子集，也有 $2^{n-1}$ 个。两类互不相交且拼出全部子集，故总数为 $2^{n-1} + 2^{n-1} = 2^n$。

另一个漂亮的看法：每个子集对应一个「指示函数」$\chi: S \to \{0, 1\}$（在子集内取 $1$，否则取 $0$），而这样的函数恰有 $2^n$ 个（每个元素两种选择）。
指出下列推理的错误：设 $\sim$ 是集 $S$ 中的一个关系，若它适合对称性和传递性，则它也适合自反性。「证明」如下：由 $a \sim b$ 可得 $b \sim a$（对称性），再由传递性得 $a \sim a$。

提示与简答（笔记自拟 · 原书从略）

错误在于：推理的前提是「存在某个 $b$ 使 $a \sim b$」。若 $a$ 是一个「孤立点」——$S$ 中没有任何元素与它有关系——则对称性与传递性都无从使用，推不出 $a \sim a$。

反例：取 $S = \{1, 2\}$，令 $R = \{(1, 1)\}$。它满足对称性与传递性（逐一验证即可），但 $(2, 2) \notin R$，自反性不成立。

正确的命题应当是：若 $\sim$ 适合对称性与传递性，且 $S$ 中每个元素都至少与某个元素相关（$\forall a\ \exists b,\ a \sim b$），则 $\sim$ 自反。此时由 $a \sim b$ 与对称性得 $b \sim a$，再用传递性即得 $a \sim a$。原「证明」悄悄补用了这个缺失的条件。
设 $\mathbf{N}$ 是自然数集，定义 $\mathbf{N} \times \mathbf{N}$ 上的一个关系：$(a, b) \sim (c, d)$，当且仅当 $a + d = b + c$。证明这是个等价关系。
提示与简答（笔记自拟 · 原书从略）
逐条验证三条：
- 自反性：$a + a = a + a$，故 $(a, b) \sim (a, b)$；
- 对称性：若 $a + d = b + c$，则 $c + b = d + a$，即 $(c, d) \sim (a, b)$；
- 传递性：若 $(a, b) \sim (c, d)$ 且 $(c, d) \sim (e, f)$，即 $a + d = b + c$ 与 $c + f = d + e$。两式相加得 $a + d + c + f = b + c + d + e$，两边消去 $c + d$ 得 $a + f = b + e$，即 $(a, b) \sim (e, f)$。
备注：这个关系把有序偶 $(a, b)$（直观上代表「差」$a - b$）按「差相等」分类，正是从自然数构造整数（进而构造有理数，见习题思路的延伸）的标准手法；$(a, b)$ 所在的等价类就是 $\mathbb{Z}$ 中的 $a - b$。
设 $f: A \to C$，$g: B \to D$ 是映射，定义 $f \times g$：$(f \times g)(a, b) = (f(a), g(b))$，$(a, b) \in A \times B$。证明 $f \times g$ 是 $A \times B \to C \times D$ 的映射，且若 $f, g$ 皆为满映射（单映射），则 $f \times g$ 也是满映射（单映射）。

提示与简答（笔记自拟 · 原书从略）

是映射：对 $A \times B$ 中任一元素 $(a, b)$，由于 $f, g$ 分别在 $a, b$ 处有唯一的像，有序偶 $(f(a), g(b))$ 存在且唯一，故 $f \times g$ 满足映射的定义。

保满：任取 $(c, d) \in C \times D$。由 $f$ 满存在 $a \in A$ 使 $f(a) = c$；由 $g$ 满存在 $b \in B$ 使 $g(b) = d$。于是 $(f \times g)(a, b) = (c, d)$，故 $f \times g$ 满。

保单：设 $(f \times g)(a, b) = (f \times g)(a', b')$，即 $(f(a), g(b)) = (f(a'), g(b'))$。由有序偶相等的充要条件（§1.2）得 $f(a) = f(a')$ 且 $g(b) = g(b')$；由 $f$ 单得 $a = a'$，由 $g$ 单得 $b = b'$，故 $(a, b) = (a', b')$，即 $f \times g$ 单。

思考：若 $f, g$ 只是其中之一为满 / 单，结论还成立吗？（答案：不满不满、不单不单——可举一空一不空或取非常值的反例体会。）
设 $A, B$ 是非空集，证明 $A \times B$ 与 $B \times A$ 之间存在一一对应。

提示与简答（笔记自拟 · 原书从略）

作映射 $\varphi: A \times B \to B \times A$，$\varphi(a, b) = (b, a)$。

$\varphi$ 是映射：每个 $(a, b)$ 的像 $(b, a)$ 唯一确定。$\varphi$ 是单射：$(b, a) = (b', a')$ 时由有序偶相等得 $b = b',\ a = a'$。$\varphi$ 是满射：任取 $(b, a) \in B \times A$，它就是 $\varphi(a, b)$。

故 $\varphi$ 是双射（一一对应）。注意：除非 $A = B$，一般 $A \times B \neq B \times A$（作为集合它们连元素类型都不同），但两者之间总存在一一对应——「不相等」与「等势」是两回事。
若 $S$ 是一个有限集，$f: S \to S$ 是 $S$ 到自身的映射。证明：(1) 若 $f$ 是单映射，则 $f$ 是双射；(2) 若 $f$ 是满映射，则 $f$ 也是双射。

提示与简答（笔记自拟 · 原书从略）

设 $|S| = n$。核心工具是有限性（无限集上这两个结论都不成立，比如 $f(x) = 2x$ 是 $\mathbf{N} \to \mathbf{N}$ 的单射但不满；$f(x) = \lceil x/2 \rceil$ 是满射但不单）。

(1) $f$ 单意味着 $|\operatorname{Im} f| = n$（$n$ 个不同的元素映到 $n$ 个不同的像）。而 $\operatorname{Im} f \subseteq S$ 且 $|S| = n$，故 $\operatorname{Im} f = S$，即 $f$ 满。单 + 满 = 双射。

(2) $f$ 满意味着每个原像集 $f^{-1}(b)$（$b \in S$）都非空，且它们两两不相交、并为 $S$。$n$ 个两两不相交的非空子集的总元素数至少为 $n$，而总数恰为 $n$，故每个 $f^{-1}(b)$ 恰含一个元素——即每个 $b$ 的原像唯一，$f$ 单。从而双射。
设 $f: A \to B$，$g: B \to C$ 是映射，证明：(1) 若 $f, g$ 皆为单映射，则 $g \cdot f$ 也是单映射；(2) 若 $f, g$ 皆为满映射，则 $g \cdot f$ 也是满映射；(3) 若 $f, g$ 皆为双射，则 $g \cdot f$ 也是双射，且 $(g \cdot f)^{-1} = f^{-1} \cdot g^{-1}$。

提示与简答（笔记自拟 · 原书从略）

(1) 设 $g f(a_1) = g f(a_2)$，即 $g(f(a_1)) = g(f(a_2))$。由 $g$ 单得 $f(a_1) = f(a_2)$；再由 $f$ 单得 $a_1 = a_2$。故 $g f$ 单。

(2) 任取 $c \in C$。由 $g$ 满，存在 $b \in B$ 使 $g(b) = c$；由 $f$ 满，存在 $a \in A$ 使 $f(a) = b$。于是 $g f(a) = g(f(a)) = g(b) = c$，故 $g f$ 满。

(3) 由 (1)(2)，$g f$ 单且满，故为双射，从而有逆映射。验证 $f^{-1} \cdot g^{-1}$ 就是它的逆：
$(f^{-1} \cdot g^{-1}) \cdot (g \cdot f) = f^{-1} \cdot (g^{-1} \cdot g) \cdot f = f^{-1} \cdot I_B \cdot f = I_A,$ $(g \cdot f) \cdot (f^{-1} \cdot g^{-1}) = g \cdot (f \cdot f^{-1}) \cdot g^{-1} = g \cdot I_B \cdot g^{-1} = I_C.$
（第一步到第二步均用命题 4-1 的结合律。）由逆映射的唯一性得 $(g \cdot f)^{-1} = f^{-1} \cdot g^{-1}$。注意逆的顺序要反过来——就像「先穿袜子再穿鞋，脱的时候先脱鞋再脱袜子」。

下一章预告第二章群论从 §2.1「群的概念」开始：先定义半群、幺半群，再加上「每个元素有逆元」便得到群；随后给出十来个重要例子——整数加法群、$\mathbf{Q}^*$ 等数群、变换群、对称群 $S_n$、模 $n$ 剩余类加法群 $\mathbf{Z}_n$、一般线性群 $GL_n(K)$、特殊线性群 $SL_n(K)$ 与 Hamilton 四元数群。本章准备的集合语言（等价关系、商集、映射、二元运算）将在群的定义与子群、商群中全面登场。

★重点回顾

集合语言：$\in$、$\subseteq$、$\varnothing$；描述法 $A = \{a \in S \mid P(a)\}$；常用数集固定记号 $\mathbf{Z}, \mathbf{N}, \mathbf{Q}, \mathbf{R}, \mathbf{C}$。

集合运算：并 $A \cup B$、交 $A \cap B$、补 $A - B$；命题 1-1 的五组性质——交换律、结合律、分配律、吸收式 $C-(C-A)=A$ 与 De Morgan 公式；结合律成立 ⟹ 括号可省略。

指标集 $I$ 把并与交推广到任意一族集合：$\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha} = \{x \mid x \text{ 属于某个 } A_{\alpha}\}$，$\bigcap_{\alpha \in I} A_{\alpha} = \{x \mid x \text{ 属于每个 } A_{\alpha}\}$。

Cartesian 积：$A \times B = \{(a,b) \mid a \in A, b \in B\}$；$(a,b)=(c,d) \iff a=c \text{ 且 } b=d$；$n$ 个集合与一族集合的积（$I$ 上函数 $a,\ a(\alpha) \in A_{\alpha}$ 的全体）。

关系 = 积集合的子集；等价关系 = 自反 + 对称 + 传递；等价类 $[a]$ 满足「不重合必不相交」，故等价类族构成集合的分划；命题 3-1：等价关系与分划互相决定、一一对应。

商集 $\overline{A} = A/\sim$：全体等价类组成的集合（元素是 $A$ 的子集！）；典型例子：奇偶两类、同心圆、射影直线、模 $n$ 剩余类集 $\mathbf{Z}_n$。

映射 $f: A \to B$：对 $A$ 中任一元，像存在且唯一；像 $\operatorname{Im} f = f(A)$ 与原像 $f^{-1}(b)$（原像可以不唯一）；满射 / 单射 / 双射及三个充要条件；双射才有逆映射 $f^{-1}: B \to A$。

合成 $g \cdot f\,(a) = g(f(a))$：结合律（命题 4-1）；命题 4-2——单射 ⟺ 有左逆，满射 ⟺ 有右逆，双射 ⟺ 左右逆都存在（证明用到选择公理，本书始终接受之）。

二元运算：$S \times S \to S$ 的映射（封闭 + 唯一结果由「映射」保证）；结合律、交换律、左 / 右分配律（定义 5-2）；可推广到 $n$ 元运算与 $S \times T \to S$ 型运算（如数乘）。

偏序集（自反 + 反对称 + 传递）：任意两元素未必可比；全序集与链；极大元、上界（都不必唯一）；Zorn 引理：每根链都有上界 ⟹ 存在极大元，与选择公理等价（§1.6 选修）。

⚠易错点提醒

常见错误

把 $(a, b)$ 当成「无序」的：$A \times B$ 中 $(a, b) = (c, d)$ 要求 $a = c$ 且 $b = d$；$(a, b) \neq (b, a)$ 一般成立，且 $A \times B \neq B \times A$（虽有双射，见习题 6）。
「对称 + 传递 ⟹ 自反」是错的（习题 3）：推理需要「$a$ 至少与某个元素相关」作前提；存在孤立点时自反性会失效。验证等价关系时三条都要老老实实检查。
商集的元素层次搞错：$\overline{A}$ 的元素是等价类，是 $A$ 的子集；$\overline{a} \in \overline{A}$ 与 $a \in A$ 不在同一「层次」上。对 $\mathbf{Z}_n$，元素是剩余类 $\overline{0}, \overline{1}, \dots$，不是整数本身。
$f^{-1}$ 的两用：$f^{-1}(b)$ 作为「原像集合」对任何映射都有意义（可以是 $\varnothing$、单点或多点）；而逆映射 $f^{-1}: B \to A$ 只在 $f$ 为双射时才存在。两种记号含义不同，靠上下文区分。
「值域」与「像」混为一谈：本书中值域指到达集合 $B$，$\operatorname{Im} f = f(A)$ 是像；$B$ 中的元素未必都被取到。有的教材把 $\operatorname{Im} f$ 称为值域——读别的书时要对照定义。
De Morgan 公式记反：交的补 = 补的并，并的补 = 补的交；「补」会把 $\cup$ 与 $\cap$ 互换。对一族集合的版本见习题 1。
满射、单射的性质在无限集上会失效：有限集上「单 ⟹ 满」「满 ⟹ 单」都成立（习题 7），无限集上都不成立——关键在于是否用到了「有限」这一条件。
合成逆的顺序写错：$(g \cdot f)^{-1} = f^{-1} \cdot g^{-1}$，顺序必须颠倒（习题 8(3)）。
偏序 ≠ 全序：偏序集里两个元素可以「不可比」（整除序下 $2$ 与 $3$ 互不整除）；只有全序集才保证任意两元素可比。另外上界、极大元都不必唯一，无限偏序集可能没有极大元。

记号	含义
\(\mathbf{Z}\)	整数集 \(\{0, \pm 1, \pm 2, \cdots\}\)
\(\mathbf{N}\)	自然数集 \(\{1, 2, 3, \cdots\}\)
\(\mathbf{Q}\)	有理数集
\(\mathbf{R}\)	实数集
\(\mathbf{C}\)	复数集

第 1 章 · 预备知识

☰本章目录

◎学习目标

1集合 §1.1

1.1 指标集与任意多个集合的并、交

2Cartesian 积 §1.2

2.1 推广：\(n\) 个集合与一族集合的 Cartesian 积

3等价关系与商集 §1.3

3.1 等价类

4映射 §1.4

4.1 像、原像与 \(\operatorname{Im} f\)

4.2 映射的合成

5二元运算 §1.5

6偏序与 Zorn 引理 §1.6 · 选修

✎习题（原书第一章，共 8 题）

★重点回顾

⚠易错点提醒