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◎学习目标
- 理解字、字长、空字、简化字的概念：字母表 \(X = \{x_i \mid i \in I\}\) 与其形式逆 \(\mathbf{X}^{-1} = \{x_i^{-1} \mid i \in I\}\) 上的有限序列；掌握消去等价关系 \(\sim\) 与简化映射 \(\rho\) 的六条性质，特别是「每个等价类中只有一个简化字」这一关键事实；
- 掌握自由群 \(F(X)\) 的构造（定理 I-1）：字的等价类集合在乘法 \([u][v] = [uv]\) 下成群；知道由一个元生成的自由群是无限循环群、两个及以上生成元的自由群非交换、自由群中非单位元都是无限阶；
- 掌握自由群的泛性质（定理 I-2）：\(X\) 到任意群 \(G\) 的映射唯一扩张为 \(F(X) \to G\) 的群同态；会由此推出「任意群都是某个自由群的同态像」；
- 理解生成元与定义关系的严格含义：\(G \cong F(X)/H\)，\(M\) 生成的正规子群 \(H\) 给出定义关系；知道生成集与定义关系一般不唯一，判定两个表现群同构一般是困难问题；
- 掌握 Artin 的代数闭包存在性证明（定理 II-1）：对每个非常数多项式添加未定元构造 \(R\)、由 \(f_\alpha(x_\alpha)\) 生成的理想 \(I \neq R\)（用 Kronecker 定理反证）、Zorn 引理取极大理想 \(J\)、\(F_1 = R/J\) 使每个多项式有根、迭代取并 \(E = \bigcup F_i\) 得代数闭域；
- 掌握代数闭包的唯一性证明（定理 II-2）：以「中间域 + 单同态」对构成偏序集 \(\Sigma\)，Zorn 引理取极大元，再由极大性证明 \(E = E_1\)，最后用代数闭域的极小性证明 \(\varphi\) 满。
Ⅰ自由群 附录 I
设 \(X = \{x_i \mid i \in I\}\) 是一个集合（称为字母表），另有一个和 \(X\) 一一对应的集合 \(\mathbf{X}^{-1} = \{x_i^{-1} \mid i \in I\}\)。定义集合 \(X \cup \mathbf{X}^{-1}\) 上的一个字为由该集合中元素的一个有限序列，例如 \[ x_{i_1}^{\epsilon_1}x_{i_2}^{\epsilon_2}\cdots x_{i_k}^{\epsilon_k}, \qquad \epsilon_i = \pm 1. \] 定义字长为元素的个数，定义空字为 \(e\) 或 1。一个字称为是简化的，若在这个字中任意两个相邻的元素都没有 \(x_ix_i^{-1}\)（\(\epsilon = \pm 1\)）的形状。
记 \(X \cup \mathbf{X}^{-1}\) 上全体字的集合为 \(W\)。在 \(W\) 上定义一个等价关系：称字 \(u\) 和 \(v\) 等价（记为 \(u \sim v\)），若通过添加或去掉有限多个形如 \(x_ix_i^{-1}\)（\(\epsilon = \pm 1\)）的元素可由 \(u\) 得到 \(v\)。不难验证这确实是一个等价关系。字 \(u\) 的等价类记为 \([u]\)。定义 \(\rho\) 为 \(W\) 上的映射：\(\rho\) 将字 \(u\) 映为它的简化字，这可以经过有限次从右到左消去相邻形如 \(x_ix_i^{-1}\)（\(\epsilon = \pm 1\)）的元素得到。容易验证 \(\rho\) 有如下性质：
假定 \(u, v\) 都是简化字且 \(u \sim v\)，则根据等价的定义，存在一个有限序列 \(u = u_1, u_2, \dots, u_m = v\)，相邻的两个元素只相差一个形如 \(x_ix_i^{-1}\) 的字。因此 \(\rho(u_i) = \rho(u_{i+1})\)，故 \(\rho(u) = \rho(v)\)。而 \(u, v\) 是简化字，\(\rho(u) = u\)，\(\rho(v) = v\)，故 \(u = v\)。这表明每个字的等价类中只有一个简化字。
证明（点击展开）
若 \(u_1 \sim u\)，\(v_1 \sim v\)，则 \[ \rho(u_1v_1) = \rho(\rho(u_1)\rho(v_1)) = \rho(\rho(u)\rho(v)) = \rho(uv). \] 所以 \([u_1][v_1] = [u][v]\)，乘法的定义合理。假定 \(u, v, w\) 是 3 个字，因为 \[ \rho(\rho(uv)\rho(w)) = \rho((uv)w) = \rho(uvw) = \rho(u(vw)) = \rho(\rho(u)\rho(vw)), \] 所以乘法满足结合律。显然 \([e]\) 是单位元。最后若 \(u = x_1^{\epsilon_1}x_2^{\epsilon_2}\cdots x_n^{\epsilon_n}\)，令 \(v = x_n^{-\epsilon_n}x_{n-1}^{-\epsilon_{n-1}}\cdots x_1^{-\epsilon_1}\)，则 \([v] = [u]^{-1}\)。这就证明了 \(F(X)\) 是一个群。证毕。
由一个元生成的自由群就是无限循环群，两个和两个以上元素生成的自由群都是非交换群。在自由群中，除了元素 \([e]\) 以外，所有的元素的周期都是无限的。事实上，若 \(u = x_1^{\epsilon_1}x_2^{\epsilon_2}\cdots x_n^{\epsilon_n}\) 是一个简化字，假定 \([u]\) 的阶为 \(m\)，则 \([u]^m = [e]\)。将 \([u]^m\) 写出来，将有 \(x_n^{\epsilon_n} = x_1^{-\epsilon_1}\)，\(x_{n-1}^{\epsilon_{n-1}} = x_2^{-\epsilon_2}\)，\(\cdots\)。由于 \([u] \neq [e]\)，因此导致矛盾。
图 1
证明（点击展开）
设 \(u = x_1^{\epsilon_1}x_2^{\epsilon_2}\cdots x_n^{\epsilon_n}\) 是简化字，定义 \[ \varphi([u]) = f(x_1)^{\epsilon_1}f(x_2)^{\epsilon_2}\cdots f(x_n)^{\epsilon_n}. \] 若 \(v = y_1^{\delta_1}y_2^{\delta_2}\cdots y_m^{\delta_m}\)（\(\delta_i = \pm 1\)）也是简化字，则 \(\varphi([v]) = f(y_1)^{\delta_1}f(y_2)^{\delta_2}\cdots f(y_m)^{\delta_m}\)。如果 \(x_n^{\epsilon_n} \neq y_1^{-\delta_1}\)，则 \[ \begin{aligned} \varphi([u][v]) & = \varphi([uv]) = \varphi([x_1^{\epsilon_1}\cdots x_n^{\epsilon_n}y_1^{\delta_1}\cdots y_m^{\delta_m}]) \\ & = f(x_1)^{\epsilon_1}\cdots f(x_n)^{\epsilon_n}f(y_1)^{\delta_1}\cdots f(y_m)^{\delta_m} = \varphi([u])\varphi([v]). \end{aligned} \] 如果 \(x_n^{\epsilon_n} = y_1^{-\delta_1}\)，则 \(f(x_n)^{\epsilon_n} = f(y_1)^{-\delta_1}\)，故 \(f(x_n)^{\epsilon_n}f(y_1)^{\delta_1} = 1\)。这时若 \(x_{n-1}^{\epsilon_{n-1}} \neq y_2^{-\delta_2}\)，则 \[ \begin{aligned} \varphi([u][v]) & = \varphi([uv]) = f(x_1)^{\epsilon_1}\cdots f(x_{n-1})^{\epsilon_{n-1}}f(y_2)^{\delta_2}\cdots f(y_m)^{\delta_m} \\ & = f(x_1)^{\epsilon_1}\cdots f(x_{n-1})^{\epsilon_{n-1}}f(x_n)^{\epsilon_n}f(y_1)^{\delta_1}f(y_2)^{\delta_2}\cdots f(y_m)^{\delta_m} \\ & = \varphi([u])\varphi([v]). \end{aligned} \] 同理，当 \(x_{n-i}^{\epsilon_{n-i}} = y_i^{-\delta_i}\ (i = 1, \cdots, k)\)，\(x_{n-i-1}^{\epsilon_{n-i-1}} \neq y_{i+1}^{-\delta_{i+1}}\) 时，仍有 \(\varphi([u][v]) = \varphi([u])\varphi([v])\)，即 \(\varphi\) 是群同态。显然 \(\varphi j(x) = \varphi([x]) = f(x)\)，即图交换。又因为 \([X]\) 生成 \(F(X)\)，故唯一性成立。证毕。
证明（点击展开）
设 \(S = \{s_i \mid i \in I\}\) 是群 \(G\) 的生成元集合，令 \(X = \{x_i \mid i \in I\}\) 是和 \(S\) 一一对应的集合。作集合 \(X\) 上的自由群 \(F(X)\)。令 \(f(x_i) = s_i\)，则存在定理中的群同态 \(\varphi\)。因为 \(S\) 生成 \(G\)，故 \(\varphi\) 是满同态。证毕。
Ⅱ代数闭域 附录 II
证明（点击展开）
我们首先要构造 \(F\) 的一个代数扩张 \(F_1\)，使 \(F\) 上的每个次数大于零的多项式在 \(F_1\) 中都至少有一个根。对每个 \(F\) 上次数大于零的多项式 \(f_\alpha(x)\)，令 \(x_\alpha\) 是与之对应的未定元。令所有这些未定元的集合为 \(X\)，又设 \(R\) 是 \(F\) 上变元取自 \(X\) 的多项式环。令 \(I\) 是 \(R\) 中所有形如 \(f_\alpha(x_\alpha)\) 的多项式生成的理想。现要证明 \(I \neq R\)。
若否，则存在 \(f_{\alpha_i}(x_{\alpha_i})\ (i = 1, 2, \dots, m)\) 以及 \(g_{\alpha_i} \in R\)，成立等式 \[ f_{\alpha_1}(x_{\alpha_1})g_{\alpha_1} + f_{\alpha_2}(x_{\alpha_2})g_{\alpha_2} + \cdots + f_{\alpha_m}(x_{\alpha_m})g_{\alpha_m} = 1. \] 由 Kronecker 定理知道，存在 \(F\) 的一个扩域 \(F'\)，使每个 \(f_{\alpha_i}(x_{\alpha_i})\) 在 \(F'\) 中有根 \(u_{\alpha_i}\)。令 \(x_{\alpha_i} = u_{\alpha_i}\) 代入上述方程式的左边，我们将得到 \(0 = 1\) 的矛盾。这就证明了 \(I\) 是 \(R\) 的真理想。
于是由 Zorn 引理知道，\(I\) 必包含在某个极大理想 \(J\) 之中。作域 \(F_1 = R/J\)，则 \(F_1\) 是 \(F\) 的扩域，且每个 \(F\) 上的多项式 \(f_\alpha(x)\) 在 \(F_1\) 中有根 \(x_\alpha + J\)。
对 \(F_1\) 重复上述过程，可以得到扩域 \(F_2\)，使 \(F_1\) 上的每个非常数多项式在 \(F_2\) 中至少有一个根。不断重复做下去，我们得到一个链： \[ F \subset F_1 \subset F_2 \subset \cdots. \] 令 \(E = \bigcup F_i\)。设 \(h(x)\) 是 \(E\) 上任意一个多项式，\(h(x) = c_0 + c_1x + \cdots + c_nx^n\)，\(c_i \in E = \bigcup F_i\)，则存在某个充分大的 \(j\)，使所有 \(c_i \in F_j\)。于是 \(h(x)\) 可以看成是 \(F_j\) 上的多项式，它在 \(F_{j+1}\) 中有根，当然也就是在 \(E\) 中有根。这就证明了 \(E\) 是一个代数闭域。证毕。
接下来我们证明代数闭包的唯一性。
证明（点击展开）
令 \(S\) 是域 \(F\) 上全体首一多项式组成的集合，则 \(E_1, E_2\) 都可以看成是 \(F\) 关于 \(S\) 的分裂域，即 \(S\) 中每个多项式在 \(E_i\ (i = 1, 2)\) 上都分裂且 \(E_i\) 是包含这些多项式根的最小子域。对每一个多项式 \(f(x) \in F[x]\)，存在从 \(f(x)\) 的分裂域 \(F_1 \subset E_1\) 到 \(E_2\) 的单同态。
设 \(\{F_{\alpha}\}\) 为 \(E_1/F\) 的中间域集合且存在从 \(F_{\alpha}\) 到 \(E_2\) 的单同态为 \(\varphi_{\alpha}\)。令 \(\Sigma = \{(F_{\alpha}, \varphi_{\alpha})\}\)，则 \(\Sigma\) 非空。若 \(F_{\alpha} \subseteq F_{\beta}\) 且 \(\varphi_{\beta}\) 是 \(\varphi_{\alpha}\) 的扩张，则定义 \((F_{\alpha}, \varphi_{\alpha}) \leqslant (F_{\beta}, \varphi_{\beta})\)，则 \(\Sigma\) 成为一个偏序集。对 \(\Sigma\) 中任一链 \[ (F_1, \varphi_1) \leqslant (F_2, \varphi_2) \leqslant \cdots, \] 令 \(F' = \bigcup F_i\)，\(\varphi'\) 为诸 \(\varphi_i\) 的扩张，则 \(F'\) 是该链的上界。于是由 Zorn 引理，\(\Sigma\) 有极大元 \((E, \varphi)\)。现要证明 \(E = E_1\)。若否，则存在 \(E_1\) 上元素 \(u\) 不属于 \(E\)，其极小多项式记为 \(g(x)\)。作 \(g(x)\) 在 \(E_1\) 中的分裂域（因为 \(E_1\) 是代数闭域，总可以做到）\(E_0\)，则存在从 \(E_0\) 到 \(E_2\) 的扩张同态 \(\varphi_0\)，于是和 \((E, \varphi)\) 的极大性矛盾。这就证明了 \(E = E_1\)。
最后证明 \(\varphi\) 是满同态，因此是同构。因为 \(E_1\) 是代数闭域，而 \(E_1\) 和 \(\varphi(E_1)\) 同构，故 \(\varphi(E_1)\) 也是包含 \(F\) 的代数闭域。而 \(E_2\) 包含 \(\varphi(E_1)\) 且是 \(F\) 的代数闭包，所以只可能 \(E_2 = \varphi(E_1)\)。证毕。
★重点回顾
⚠易错点提醒
- 把自由群的「自由」理解成「自由交换」：\(F(X)\) 中元素互不交换（除非由消去强制的平凡情形）；\(x_ix_j \neq x_jx_i\)（\(i \neq j\) 时），因为对应的简化字不同。
- 简化字表示的唯一性遗忘：定理 I-1 乘法良定义性的关键是「每个等价类只有一个简化字」；没有 \(\rho\) 的性质 (6)，\([u][v] = [uv]\) 的合理性无从谈起。
- \(F(X)\) 的子集 \(X\) 被当成群元素：\(X\) 中元素 \(x_i\) 在 \(F(X)\) 中的像是等价类 \([x_i]\)；嵌入映射 \(j\) 不是满的，\(X\) 只是 \(F(X)\) 的生成集。
- 定义关系「推出」一切：给定 \(\langle X \mid R \rangle\)，需要验证存在群满足这些关系且由 \(X\) 生成（附录 I 的构造保证了存在性）；两个表现代表同一个群需要双向推导（§2.12 例 2 的做法），单向推出不够。
- Artin 构造中 \(I \neq R\) 的证明跳步：反证时只有有限个 \(f_{\alpha_i}\) 出现在 \(1\) 的表达式中，因此才能用 Kronecker 定理（添加有限个根）；对无穷多个多项式不能一次性找到公共扩域。
- \(E = \bigcup F_i\) 是代数闭域但「并」不自动是域：这里因为域链 \(F \subset F_1 \subset F_2 \subset \cdots\) 嵌套，任意两个元素落在同一个 \(F_j\) 中，四则运算封闭——没有嵌套结构的「并集」一般不是域。
- 代数闭包 ≠ 代数闭域：\(F\) 的代数闭包 \(K\) 是「\(F\) 的代数扩域 + \(K\) 是代数闭域」两个条件的合取；代数闭域本身可以不是任何域的代数扩域（如 \(\mathbf{C}\) 相对于自身平凡）。另外「\(F\) 在 \(E\) 中的代数闭包」（相对概念，§4.2 定义 2-1）未必是代数闭域（§4.2 习题 1）。