第 4 章 · 域与 Galois 理论

设 \([K:F] \lt \infty\)。由于 \(E\) 作为 \(F\) 上线性空间是 \(K\) 的子空间，因此 \([E:F] \lt \infty\)。另外，若设 \(v_1, v_2, \dots, v_n\) 是 \(K\) 作为 \(F\) 线性空间的基，则 \(K\) 中任一元素皆可以表示为 \(v_1, \dots, v_n\) 的 \(F\) 线性组合；而 \(F \subseteq E\)，因此这同时也是一个 \(E\) 线性组合，这表明 \([K:E] \leqslant [K:F] \lt \infty\)。

反过来，设 \([K:E]\) 与 \([E:F]\) 都有限。设 \(K/E\) 的基为 \(\{v_1, v_2, \dots, v_n\}\)，\(E/F\) 的基为 \(\{u_1, u_2, \dots, u_m\}\)。令 \(x \in K\)，则 \(x = \sum_{i=1}^n a_iv_i\)，其中 \(a_i \in E\)；对每个 \(a_i\)，又有 \(a_i = \sum_{j=1}^m b_{ij}u_j\)，\(b_{ij} \in F\)，于是 \(x = \sum_i \sum_j b_{ij}u_jv_i\)。这表明 \(K\) 中任一元都可表示为 \(\{u_jv_i\}\) 的 \(F\) 线性组合。若 \(\sum_{i,j} c_{ij}v_iu_j = 0\)（\(c_{ij} \in F\)），则由于 \(c_{ij}u_j \in E\)，\(\{v_1, \dots, v_n\}\) 是 \(K/E\) 的基，故 \(\sum_j c_{ij}u_j = 0\) 对任一 \(i\) 成立；再由 \(\{u_1, \dots, u_m\}\) 是 \(E/F\) 的基得 \(c_{ij} = 0\) 对一切 \(i, j\) 成立。由此可见 \(\{u_jv_i\}\) 构成 \(K/F\) 的一组基。显然 \([K:F] = mn = [K:E][E:F]\)。证毕。

设 \(u\) 是 \(F\) 上的代数元，则由前面的分析知道 \(F(u) = F[u]\) 中任一元具有形状 \(a_0 + a_1u + \dots + a_{n-1}u^{n-1}\)（\(n = \deg g(x)\)，\(a_i \in F\)）。这表明 \(F(u)\) 中元 \(1, u, \dots, u^{n-1}\) 张成 \(F\) 线性空间 \(F(u)\)。又因为 \(u\) 的极小多项式次数为 \(n\)，故 \(1, u, \dots, u^{n-1}\) 是线性无关的，即是 \(F(u)\) 作为 \(F\) 上线性空间的基，因此 \([F(u):F] = \deg g(x)\)。

反之，若 \([F(u):F] = n \lt \infty\)，则 \(n + 1\) 个元 \(1, u, \dots, u^n\) 必线性相关，即存在不全为零的 \(F\) 中的元素 \(a_0, a_1, \dots, a_n\)，使 \(a_0 + a_1u + \dots + a_nu^n = 0\)，这表明 \(u\) 是一个代数元。这时 \(a_n\) 必不为零，否则 \(u\) 的极小多项式次数将小于 \(n\)，由上面的证明可知将有 \([F(u):F] \lt n\)，与 \([F(u):F] = n\) 的假定矛盾。因此将上述多项式两边除以 \(a_n\)，即得 \(u\) 的极小多项式。证毕。

设 \(E = F(u)\) 且 \(K\) 是中间域。令 \(u\) 在 \(F\) 上的极小多项式为 \(f(x)\)，在 \(K\) 上的极小多项式为 \(g(x)\)，在 \(K[x]\) 中做除法：\(f(x) = g(x)q(x) + r(x)\)。由 \(g(u) = 0\) 及 \(f(u) = 0\) 得 \(r(u) = 0\)；但 \(\deg r(x) \lt \deg g(x)\)，因此必有 \(r(x) = 0\)，即 \(g(x) \mid f(x)\)。设 \(K'\) 是由 \(F\) 及 \(g(x)\) 的系数生成的 \(E\) 的子域，则 \(K' \subseteq K\)。显然 \(u\) 在 \(K'\) 上的极小多项式仍是 \(g(x)\)。但 \(E = K(u) = K'(u)\)，\([E:K] = \deg g(x) = [E:K']\)。再由 \(K' \subseteq K\) 知 \([E:K'] = [E:K][K:K']\)。于是 \([K:K'] = 1\)，即 \(K = K'\)。这说明 \(E\) 与 \(F\) 之间的中间域必是 \(f(x)\) 的首项系数为 1 的因式（在 \(E[x]\) 中）的系数与 \(F\) 生成的子域。显然这样的子域只有有限个。

反过来，设 \(E, F\) 的中间域只有有限个。若 \(F\) 是有限域，由于 \([E:F] \lt \infty\)，因此 \(E\) 也是有限域。\(E\) 的非零元 \(E^{*}\) 组成的乘法群是一个循环群（参见第三章），其生成元记为 \(u\)，则 \(E = F(u)\) 显然成立。若 \(F\) 为无限域，则这时只要证明 \(F(u, v)\) 必有本原元即可，这里 \(u, v\) 是 \(E\) 中任意两个元素。考虑子域 \(F(u + av)\)，\(a \in F\)。由于 \(E, F\) 的中间域只有有限个，而 \(F\) 是一个无限域，故必存在 \(b \neq a\)，使 \(F(u + av) = F(u + bv)\)，则 \[ \begin{aligned} v & = (a - b)^{-1}\big[(u + av) - (u + bv)\big] \in F(u + av), \\ u & = (u + av) - av \in F(u + av), \end{aligned} \] 因此 \(F(u + av) = F(u, v)\)。证毕。

设 \(\alpha, \beta\) 是 \(F\) 上代数元，只需证明 \(\alpha + \beta\)，\(\alpha\beta\)，\(\alpha^{-1}\ (\alpha \neq 0)\) 都属于 \(K\) 即可。由定理 1-1 知： \[ [F(\alpha, \beta):F] = [F(\alpha, \beta):F(\alpha)]\,[F(\alpha):F]. \] 由于 \(\alpha\) 是代数元，因此 \([F(\alpha):F] \lt \infty\)。另一方面，\(\beta\) 是 \(E\) 上的代数元，它适合 \(F\) 上的某个多项式 \(g(x)\)；由于 \(F \subseteq F(\alpha)\)，因此 \(\beta\) 也适合 \(F(\alpha)\) 上的多项式 \(g(x)\)，即 \(\beta\) 是 \(F(\alpha)\) 上的代数元，因此 \([F(\alpha, \beta): F(\alpha)] = [F(\alpha)(\beta): F(\alpha)] \lt \infty\)。于是 \([F(\alpha + \beta):F] \leqslant [F(\alpha, \beta):F] \lt \infty\)，\(\alpha + \beta\) 是 \(F\) 上代数元。同理 \(\alpha - \beta\)，\(\alpha\beta\)，\(\alpha^{-1}\) 都是 \(F\) 上代数元，都属于 \(K\)。这就证明了 \(K\) 是 \(E\) 的子域。证毕。

(1) ⟹ (2)：设 \([E:F] = n\) 且 \(E\) 作为 \(F\) 上线性空间的基为 \(u_1, u_2, \cdots, u_n\)。由于对每个 \(i\)，\(F(u_i)\) 是 \(E\) 的 \(F\) 子空间，因此 \([F(u_i):F] \lt \infty\)，\(u_i\) 是 \(F\) 上代数元。显然，\(F(u_1, u_2, \cdots, u_n) = E\)。不难看出这时 \(E\) 中任一元都是 \(F\) 上的代数元。

(2) ⟹ (1)： \[ [E:F] = [F(u_1, \cdots, u_n):F(u_1, \cdots, u_{n-1})]\cdots[F(u_1):F], \] 对任一 \(i\)，\(u_i\) 是 \(F\) 上的代数元，因此也是 \(F(u_1, \cdots, u_{i-1})\) 上的代数元（参见定理 2-1 的证明），故 \([F(u_1, \cdots, u_i): F(u_1, \cdots, u_{i-1})] \lt \infty\)。于是 \([E:F] \lt \infty\)。证毕。

只要证明 \(K\) 中每个元素都是 \(F\) 上的代数元即可。设 \(\alpha \in K\)，则 \(\alpha\) 是 \(E\) 上的代数元，记 \(g(x) = c_0 + c_1x + \cdots + x^n\) 是 \(\alpha\) 作为 \(E\) 上代数元的极小多项式，其中 \(c_0, c_1, \cdots, c_{n-1} \in E\)。现作 \[ K' = F(c_0, c_1, \cdots, c_{n-1}), \] 则显然 \(\alpha\) 也是 \(K'\) 上的代数元。但由于 \(c_0, c_1, \cdots, c_{n-1}\) 都是 \(F\) 上的代数元，故由定理 2-2 知 \([K':F] \lt \infty\)。于是从 \(F(\alpha) \subseteq K'(\alpha)\) 即可推出： \[ [F(\alpha):F] \leqslant [K'(\alpha):F] = [K'(\alpha):K'][K':F] \lt \infty. \] 这就说明了 \(\alpha\) 是 \(F\) 上的代数元。证毕。

(1) ⟹ (2)：设 \(g(x) \in K[x]\) 是一个不可约多项式，则 \(g(x)\) 决定了一个 \(K\) 的代数扩域 \(E\) 且 \([E:K] = \deg g(x)\)。但 \(K\) 是代数闭域，故 \(E = K\)，\(\deg g(x) = [E:K] = 1\)。

(2) ⟹ (1)：设 \(E\) 是 \(K\) 的代数扩张，令 \(a \in E\)，\(a\) 的极小多项式 \(g(x)\) 为一次式，即 \(g(x) = x - a\)，因此 \(a \in K\)，即 \(E = K\)。其余命题的等价性显然。证毕。

由代数基本定理知，复数域 \(\mathbf{C}\) 是一个代数闭域。

设 \(z, z' \in S\)。由于 \(S = \bigcup_{i=1}^{\infty} C_i\)，\(C_i \subseteq C_{i+1}\)，因此我们不妨设它们都属于 \(C_k\)。用平行四边形法可作出 \(z + z'\)，即 \(z + z' \in S\)。若 \(z = r(\cos\theta + \sqrt{-1}\sin\theta)\)，\(z' = r'(\cos\theta' + \sqrt{-1}\sin\theta')\)，则 \(zz' = rr'(\cos(\theta + \theta') + \sqrt{-1}\sin(\theta + \theta'))\)。由于 \(rr'\) 可用尺规作出，角 \(\theta + \theta'\) 也可用尺规作出，因此 \(zz' \in S\)。同理可证若 \(z \neq 0\)，\(z^{-1} \in S\)。这表明 \(S\) 是 \(\mathbf{C}\) 的子域，这就证明了 (1)。

若已知 \(z\)，则其共轭元 \(\overline{z}\) 显然也可用尺规作出。如记 \(z = r(\cos\theta + \sqrt{-1}\sin\theta)\)，则 \(z^{1/2} = r^{1/2}(\cos\frac{\theta}{2} + \sqrt{-1}\sin\frac{\theta}{2})\)。由 \(r^{1/2}\) 可用尺规作出以及一个角可用尺规二等分可知 \(z^{1/2} \in S\)，这就证明了 (2)。

现设 \(T\) 是 \(\mathbf{C}\) 的包含元素 \(z_1, z_2, \cdots, z_n\) 的子域，且 \(T\) 在共轭与平方根下封闭，我们要证 \(S \subseteq T\)。由于 \(S = \bigcup_{i=1}^{\infty} C_i\)，故只需归纳地证明每个 \(C_i \subseteq T\) 即可。显然 \(C_1 \subseteq T\)。现设 \(C_k \subseteq T\)，要证 \(C_{k+1} \subseteq T\)。首先我们注意到由于 \(-1 \in T\)，\(T\) 在平方根下封闭，故 \(\sqrt{-1} \in T\)；又因为 \(T\) 是域，所以 \(\frac{1}{2} \in T\)。若 \(z = x + \sqrt{-1}y \in T\)，\(T\) 在共轭下封闭，则 \(\overline{z} \in T\)，于是 \(x = \frac{1}{2}(z + \overline{z})\)，\(y = \frac{1}{2\sqrt{-1}}(z - \overline{z})\) 皆属于 \(T\)。这样，\(C_k\) 中两点决定的直线如用 Descartes 平面上的方程来表示，就是一个系数属于 \(T\) 的线性方程式；两个系数均属于 \(T\) 的线性方程式解的坐标也仍属于 \(T\)，这表明由 \(C_k\) 中的点决定的直线的交点仍属于 \(T\)。同样，由 \(C_k\) 中的点决定的圆可以用系数在 \(T\) 中的二次方程来表示，这样圆与直线的交点、圆与圆的交点仍在 \(T\) 中（注意 \(T\) 在平方根下封闭），这就证明了 \(C_{k+1} \subseteq T\)。至此结论 3-1 得证。证毕。

设 \(S\) 是可用尺规作出的所有点的集合，另设 \(T\) 是 \(F\) 上所有平方根塔中所有元素的并集。设 \(z, z' \in T\)，则 \(z\) 属于某个平方根塔 \(F(u_1, \dots, u_m)\)，\(z'\) 属于某个平方根塔 \(F(u'_1, \cdots, u'_k)\)，则 \(z + z'\)，\(zz'\)，\(z^{-1}\)（假定 \(z \neq 0\)）均属于平方根塔 \(F(u_1, \cdots, u_m;\ u'_1, \cdots, u'_k)\)，因此 \(T\) 是 \(\mathbf{C}\) 的子域且包含 \(z_1, z_2, \dots, z_n\)。由 \(T\) 的定义知 \(T\) 在平方根下封闭。

又因为 \(F = \mathbf{Q}(z_1, \cdots; \overline{z}_1, \cdots)\) 在共轭下不变，若 \(u_i^2 \in F(u_1, \cdots, u_{i-1})\)，两边取共轭得 \(\overline{u}_i^2 \in F(\overline{u}_1, \cdots, \overline{u}_{i-1})\)，而 \(F\) 的元素在共轭下不变，即 \(F(\overline{u}_1, \cdots, \overline{u}_m)\) 也是一个平方根塔，因此 \(T\) 在共轭下封闭。由前面的结论 3-1 中的 (3) 可知 \(S = T\)，即任一可作出的点必属于 \(F\) 上的某个平方根塔，而 \(F\) 上平方根塔中的点显然可由尺规作出。这就完成了定理的证明。证毕。

由 \(z\) 的可作性，\(z\) 必属于 \(F\) 上某个平方根塔 \(F(u_1, \dots, u_m)\)。\(F(z)\) 是 \(F(u_1, \dots, u_m)\) 的子域，因此 \([F(z):F]\) 是 \([F(u_1, \dots, u_m):F]\) 的一个因子。但 \(u_i^2 \in F(u_1, \cdots, u_{i-1})\)，因此 \([F(u_1, \cdots, u_i): F(u_1, \cdots, u_{i-1})] \leqslant 2\)，于是 \([F(u_1, \dots, u_m):F]\) 等于 2 的某个幂，它的因子 \([F(z):F]\) 当然也是 2 的幂。而由 §4.1 中的定理 1-2 可知，\([F(z):F]\) 就是 \(z\) 的极小多项式的次数。证毕。

设 \(f(x)\) 是 \(F[x]\) 中非零首一多项式。现将 \(f(x)\) 分解成不可约因子之积： \[ f(x) = f_1(x)f_2(x)\cdots f_k(x), \] 设 \(\deg f(x) = n\)，现对 \(n - k\) 用数学归纳法。对 \(n - k = 0\)，即 \(f(x)\) 的不可约因子全是一次因子，这时 \(F\) 就是 \(f(x)\) 的分裂域。

对 \(n - k \gt 0\)，这时至少有一个 \(f_i(x)\)，不妨就设 \(f_1(x)\) 是次数大于 1 的不可约多项式。由 Kronecker 定理，存在 \(F\) 的扩域 \(K\)，\(f_1(x)\) 在 \(K\) 中有根，记为 \(r\)，则 \(f_1(x) = (x - r)h(x)\)，其中 \(h(x) \in K[x]\)。于是在 \(K[x]\) 中， \[ f(x) = (x - r)h(x)f_2(x)\cdots f_k(x). \] 这时如将 \(f(x)\) 作不可约分解，并设不可约分解的长度为 \(l\)，则 \(n - l \lt n - k\)。于是由归纳假设（将 \(f(x)\) 看成是域 \(K\) 上的多项式），存在 \(K\) 的扩域 \(E\)，它是 \(f(x)\) 作为 \(K\) 上多项式的分裂域。设在 \(E\) 中 \[ f(x) = (x - r_1)(x - r_2)\cdots(x - r_n), \] 由于 \(r\) 是 \(f(x)\) 的根，因此必有某个 \(r_i\)，不妨设 \(r_1 = r\)。下面只需证明 \(E = F(r_1, r_2, \cdots, r_n)\) 即可。

因为 \(E\) 是 \(f(x)\) 作为 \(K\) 上多项式的分裂域，故有 \[ E = K(r_1, r_2, \cdots, r_n). \] 从引理 4-1 的证明以及 §4.1 开头的说明我们知道 \(K = F(r)\)，于是利用 \(r = r_1\) 可得： \[ E = K(r_1, r_2, \cdots, r_n) = F(r)(r_1, r_2, \cdots, r_n) = F(r_1, r_2, \cdots, r_n). \] 证毕。

若 \(\eta\) 的扩张存在，不妨记为 \(\xi\)。因为 \(g(u) = 0\)，故 \(\overline{g}(\xi(u)) = 0\)，即 \(\xi(u)\) 是 \(\overline{g}(x)\) 的根，这就证明了必要性。

现设 \(\overline{u}\) 是 \(\overline{g}(x)\) 在 \(\overline{E}\) 中的一个根。显然 \(\overline{g}(x)\) 也不可约（注意它是 \(g(x)\) 的同构像）。于是有同构 \(F(u) \cong F[x]/(g(x))\)，\(\overline{F}(\overline{u}) \cong \overline{F}[x]/(\overline{g}(x))\)。再由引理 4-3 中的同构即可得同构 \(F(u) \cong \overline{F}(\overline{u})\)（参见图 1，图中虚箭头即为三个同构映射的合成）。但 \(\overline{F}(\overline{u})\) 是 \(\overline{E}\) 的子域，我们得到了域 \(F(u) \rightarrow \overline{E}\) 内的同态 \(\xi\)。又因为 \(F(u)\) 是域，\(\operatorname{Ker} \xi\) 只能为 \(\{0\}\)，所以 \(\xi\) 必是单同态。映射 \(F(u) \rightarrow F[x]/(g(x))\) 将 \(F\) 中的元 \(a\) 映为 \(a + (g(x))\)；映射 \(F[x]/(g(x)) \rightarrow \overline{F}[x]/(\overline{g}(x))\) 将 \(a + (g(x))\) 映为 \(\overline{a} + (\overline{g}(x)) = \eta(a) + (\overline{g}(x))\)；映射 \(\overline{F}[x]/(\overline{g}(x)) \rightarrow \overline{F}(\overline{u})\) 将 \(\eta(a) + (\overline{g}(x))\) 映到 \(\eta(a)\)。因此 \(\xi(a) = \eta(a)\)，即 \(\xi\) 是 \(\eta\) 的扩张。读者不难看出对任意的 \(f(u) \in F(u)\)（注意由于 \(u\) 是 \(F\) 上代数元，\(F(u) = F[u]\)），\(\xi(f(u)) = \overline{f}(\overline{u}) = \eta(a_0) + \eta(a_1)\overline{u} + \cdots + \eta(a_n)\overline{u}^n\)。特别，\(\xi(u) = \overline{u}\)。因为 \(F(u)\) 由 \(F\) 及 \(u\) 生成，故将 \(u\) 变到 \(\overline{u}\) 的 \(\eta\) 的扩张是唯一的。不同的 \(\overline{g}\) 的根给出了不同的扩张，因此 \(\eta\) 的扩张数正好等于 \(\overline{g}(x)\) 在 \(\overline{E}\) 内不同的根的个数。证毕。

图 1

对分裂域在基域上的维数用数学归纳法。

若 \([E:F] = 1\)，则 \(E = F\)，\(f(x) = (x - r_1)\cdots(x - r_n)\)，\(r_i \in F\)。于是 \(\overline{f}(x) = (x - \overline{r}_1)\cdots(x - \overline{r}_n)\)，即 \(\overline{r}_1, \dots, \overline{r}_n\) 是 \(\overline{f}(x)\) 在 \(\overline{F}\) 中的根，故 \(\overline{E} = \overline{F}\)，\(\eta\) 的扩张就是自身，显然必唯一。

现设 \([E:F] \gt 1\)。这时 \(f(x)\) 在 \(F[x]\) 中不能分解成为一次因子的乘积，故不妨设 \(g(x)\) 是 \(f(x)\) 的一个次数大于 1 的不可约因子。由于引理 4-2 中的 \(\widetilde{\eta}\) 是环同构，故 \(\overline{g}(x)\) 也是 \(\overline{f}(x)\) 的不可约因子。又设 \[ \begin{aligned} g(x) &= (x - r_1)\cdots(x - r_m), \\ f(x) &= (x - r_1)\cdots(x - r_m)(x - r_{m+1})\cdots(x - r_n), \\ \overline{g}(x) &= (x - t_1)\cdots(x - t_m), \\ \overline{f}(x) &= (x - t_1)\cdots(x - t_m)(x - t_{m+1})\cdots(x - t_n), \end{aligned} \] 其中 \(r_i \in E\)，\(t_i \in \overline{E}\)，\(i = 1, 2, \dots, n\)。令 \(K = F(r_1)\)。由于 \(g(x)\) 在 \(F\) 上不可约，故 \(g(x)\) 是 \(r_1\) 在 \(F\) 上的极小多项式，且由定理 1-2 知 \([K:F] = \deg g(x) = m\)。由引理 4-4 知存在 \(k\) 个从 \(K\) 到 \(\overline{E}\) 内的单同态 \(\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_k\)，它们都是 \(\eta\) 的扩张，其中 \(k\) 是 \(\overline{g}(x)\) 在 \(\overline{E}\) 中不同根的个数，故 \(k \leqslant m\)；当 \(\overline{g}(x)\) 的根全是单根时 \(k = m\)。

由分裂域的定义知道，\(E\) 也可看成是 \(K[x]\) 中的多项式 \(f(x)\) 的分裂域。同样，对每个 \(i\ (i = 1, 2, \dots, k)\)，\(\overline{E}\) 也是 \(f(x)\) 作为 \(\xi_i(K)\)（它是 \(\xi_i\) 的像，是 \(\overline{E}\) 的子域）上的多项式的分裂域。显然 \([E:K] \lt [E:F]\)，故可用归纳假设：每个 \(\xi_i\) 可以扩张为 \(E \to \overline{E}\) 的同构，且这些扩张的数目不超过 \([E:K]\)，而当 \(f(x)\) 在 \(\overline{E}\) 中的根都是单根时正好等于 \([E:K]\)。显然，任何一个这样的同构都是 \(\eta\) 的扩张。又因为 \(\eta\) 的这些扩张作为不同的 \(\xi_i\) 的扩张也互不相同，故它们的总数必不超过 \[ m[E:K] = [K:F][E:K] = [E:F], \] 当 \(f(x)\) 的根全是单根时正好等于 \([E:F]\)。最后，由于 \(\eta\) 的任一扩张限制在 \(K\) 上时是 \(K \to \overline{E}\) 内的单同态，故这个限制必是某个 \(\xi_i\)（\(1 \leqslant i \leqslant k\)），这说明我们已将所有 \(\eta\) 的扩张都考虑在内了。证毕。

设 \(F^p \neq F\)，则存在 \(a \in F\)，但 \(a \notin F^p\)，因此 \(a\) 不是 \(F\) 中元素的 \(p\) 次幂。由引理 5-1 知多项式 \(x^p - a\) 不可分，故 \(F\) 不是完全域。

反之，若 \(F\) 不是完全域，则存在 \(F\) 上不可分的不可约多项式。由推论 5-3 知其形状为 \(f(x) = a_0 + a_1x^p + \cdots + a_nx^{np}\)。这时若每个 \(a_i\) 都是 \(F\) 中元素的某个 \(p\) 次幂，比如 \(a_i = b_i^p\)，则 \(f(x) = (b_0 + b_1x + \cdots + b_nx^n)^p\) 与 \(f(x)\) 不可约矛盾。因此必存在某个 \(a_i\) 使 \(a_i\) 不属于 \(F^p\)，即 \(F^p \neq F\)。证毕。

我们只需证明 \(g(x)\) 的所有根均落在 \(E\) 中即可。将 \(g(x)\) 看成是 \(E\) 上的多项式，设 \(K\) 是 \(g(x)\) 作为 \(E\) 上多项式的分裂域，\(r \in K\) 是 \(g(x)\) 的一个根。现要证明 \(r \in E\)。作 \(E(r)\)，我们便得到下面的图（见图 2），其中箭头表示包含映射：

图 2

因为 \(r\) 是 \(g(x)\) 的根，由引理 4-4，存在 \(F(u) \to F(r)\) 的同构 \(\sigma\)，\(\sigma\) 限制在 \(F\) 上是 \(F\) 的恒等映射，于是 \(\sigma(f(x)) = f(x)\)（引理 4-3）。又显然 \(E\) 与 \(E(r)\) 分别是 \(f(x)\) 在 \(F(u)\) 与 \(F(r)\) 上的分裂域。由定理 4-2，我们得到 \(E \to E(r)\) 的同构 \(\eta\)，\(\eta\) 是 \(\sigma\) 的扩张，因此 \([E:F(u)] = [E(r):F(r)]\)。但另一方面，\([F(u):F] = [F(r):F]\)，由维数公式得： \[ [E:F] = [E:F(u)][F(u):F] = [E(r):F(r)][F(r):F] = [E(r):F]. \] 但 \(E \subseteq E(r)\)，故必有 \(E = E(r)\)，即 \(r \in E\)。证毕。

(1) ⟹ (2)：设 \(K\) 是 \(F\) 的正规扩域，\(u \in K\) 是 \(K\) 中任一元素，\(u\) 在 \(F\) 上的极小多项式为 \(g(x)\)。则 \(\sigma(g(u)) = g(\sigma(u))\)，但 \(g(u) = 0\)，故 \(\sigma(u)\) 是 \(g(x)\) 的根。但 \(K\) 是 \(F\) 的正规扩域，因此 \(\sigma(u) \in K\)。

(2) ⟹ (3)：因为 \([K:F] = [\sigma(K):F]\)，而 \(\sigma(K) \subseteq K\)，故 \(K = \sigma(K)\)。

(3) ⟹ (1)：设 \(u \in K\)，\(u\) 在 \(F\) 上的极小多项式记为 \(g(x)\)，现要证明 \(g(x)\) 的根全在 \(K\) 中。因为 \(E\) 是 \(F\) 的正规扩域，所以 \(g(x)\) 的根全在 \(E\) 中。现设 \(r\) 是 \(g(x)\) 的另一根，要证明 \(r \in K\)。由引理 4-4 可知，存在 \(F(u)\) 到 \(F(r)\) 的同构 \(\varphi\) 且 \(\varphi(a) = a\) 对一切 \(a \in F\) 成立。从引理 4-4 的证明还可以看出，\(\varphi(u) = r\)。由于 \(E\) 是 \(F\) 的有限正规扩域，由定理 6-1 可知 \(E\) 是某个 \(F\) 上多项式 \(f(x)\) 的分裂域。\(f(x)\) 也可看成是 \(F(u)\) 与 \(F(r)\) 上的多项式，且 \(E\) 是 \(f(x)\) 在 \(F(u)\) 及 \(F(r)\) 上的分裂域。应用定理 4-2 即知 \(\varphi\) 可扩张为 \(E/F\) 的一个自同构 \(\sigma\)，显然 \(\sigma(u) = r\)。但 \(\sigma(K) = K\)，因此 \(r \in K\)。证毕。

只需证明 \(E\) 中任一元 \(u\) 都是 \(F\) 上的可分元。由于 \(E\) 是 \(F\) 的正规扩域，\(u\) 的极小多项式 \(g(x)\) 的根全在 \(E\) 中。我们只需证明 \(g(x)\) 在 \(E\) 中的不同根的个数等于 \(\deg g(x)\) 即可。现设 \(\deg g(x) = m\)，\(g(x)\) 在 \(E\) 中不同根的个数为 \(k\)，又设 \([E:F] = n\)。作 \(F(u)\)，则 \([F(u):F] = \deg g(x) = m\)。由于 \(f(x)\) 是可分多项式，故 \(E/F\) 的自同构数目正好等于 \(n\)。另一方面，由引理 4-4 知道 \(F \to F\) 的恒等同态可扩张为 \(F(u) \to E\) 的单同态，个数等于 \(k\)。不妨设这些单同态为 \(\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_k\)。对每个 \(\eta_i\)，由于 \(E\) 也可以看成是 \(F(u)\) 及 \(\eta_i(F(u))\) 上多项式 \(f(x)\) 的分裂域，故 \(\eta_i\) 可扩张为 \(E\) 的自同构。由于 \(f(x)\) 在 \(F(u)\) 上可分，这些扩张的个数恰为 \([E:F(u)]\)，于是一共恰有 \(k \cdot [E:F(u)]\) 个 \(E/F\) 的自同构。又由于任一这样的自同构限制在 \(F(u)\) 上便是 \(F(u)/F \to E/F\) 的单同态，因此必是某个 \(\eta_i\)。由此得 \(n = k \cdot [E:F(u)]\)。但 \(n = [E:F(u)][F(u):F] = m \cdot [E:F(u)]\)，所以 \(k = m\)，即 \(g(x)\) 无重根。证毕。

设 \(|G| = n\)。现只需证明 \(E\) 中任意 \(n + 1\) 个元素必 \(F\) 线性相关就可以了。设 \(G = \{\eta_1 = 1, \eta_2, \cdots, \eta_n\}\)，\(u_1, u_2, \cdots, u_{n+1} \in E\)。作线性方程组：

这是一个 \(n + 1\) 个未知数、\(n\) 个方程式的齐次线性方程组。根据域上线性方程组的理论知道，它必有非零解。在所有这些非零解中，至少存在一组解 \((b_1, b_2, \cdots, b_{n+1})\)，它的非零元素最少。又经过未知数的适当置换，不妨设 \(b_1 \neq 0\)。由于齐次线性方程组解的线性组合仍是该齐次线性方程组的解，故 \((b_1^{-1}b_1, b_1^{-1}b_2, \cdots, b_1^{-1}b_{n+1})\) 仍是方程组 (1) 的解，且其非零元素的个数与 \((b_1, b_2, \cdots, b_{n+1})\) 的一样多。这样，我们不妨设 \((1, b_2, \cdots, b_{n+1})\) 是方程组 (1) 的一组解。现要证明 \(b_i \in F\)。一旦得证，由于 \(\eta_1(u_i) = u_i\)（\(\eta_1\) 是 \(G\) 的恒等元），因此由方程组 (1) 的第一个方程式即得： \[ u_1 + b_2u_2 + \cdots + b_{n+1}u_{n+1} = 0, \] 也就是说 \(\{u_1, u_2, \cdots, u_{n+1}\}\) \(F\) 线性相关。

现来证 \(b_i \in F\ (i = 1, 2, \cdots, n+1)\)。若否，则必存在某个 \(b_i\)，不妨设 \(b_2 \notin F\)。由于 \(F = \operatorname{Inv} G\)，因此必存在 \(\eta \in G\) 使 \(\eta(b_2) \neq b_2\)，即 \(b_2 - \eta(b_2) \neq 0\)。将此 \(\eta\) 作用于方程组 (1) 并将 \((b_1, b_2, \cdots, b_{n+1})\)（注意 \(b_1 = 1\)）代入得：

注意到 \(\{\eta\eta_1, \eta\eta_2, \cdots, \eta\eta_n\}\) 实际上是 \(G\) 中元素的一个置换，因此方程组 (2) 表明 \((\eta(b_1), \eta(b_2), \cdots, \eta(b_{n+1}))\) 也是方程组 (1) 的解。于是 \((b_1, b_2, \cdots, b_{n+1}) - (\eta(b_1), \eta(b_2), \cdots, \eta(b_{n+1})) = (0, b_2 - \eta(b_2), \cdots, b_{n+1} - \eta(b_{n+1}))\) 也是方程组 (1) 的解（注意 \(b_1 = 1\)，\(\eta(b_1) = \eta(1) = 1\)）。由于 \(b_2 - \eta(b_2) \neq 0\)，故这是一组非零解，但它的非零元的个数比 \((1, b_2, \cdots, b_{n+1})\) 的少，这就引出了矛盾。证毕。

(1) ⟹ (2)：由定理 6-1 可知 \(E\) 是 \(F\) 上某个多项式 \(f(x)\) 的分裂域。又 \(E\) 是 \(F\) 的可分扩域，即 \(E\) 中元在 \(F\) 上皆可分，当然 \(f(x)\) 的根也是 \(F\) 上可分元，故 \(f(x)\) 是 \(F\) 上可分多项式。

(2) ⟹ (3)：设 \(E\) 是 \(F\) 上可分多项式 \(f(x)\) 的分裂域，令 \(G = \operatorname{Gal} E/F\)，\(F' = \operatorname{Inv} G\)。由于 \(F\) 中元素在 \(G\) 作用下不动，故 \(F' \supseteq F\)。又显然对任意的 \(\eta \in \operatorname{Gal} E/F\)，\(\eta(a') = a'\) 对任意 \(a' \in F'\) 成立，故 \(\eta \in \operatorname{Gal} E/F'\)。反之若 \(\xi \in \operatorname{Gal} E/F'\)，则由 \(F' \supseteq F\) 可知 \(\xi(a) = a\) 对任意的 \(a \in F\) 成立，于是 \(\xi \in \operatorname{Gal} E/F\)。总之，我们有 \(G = \operatorname{Gal} E/F' = \operatorname{Gal} E/\operatorname{Inv} G\)。又因为 \(f(x)\) 是 \(F\) 上可分多项式，故 \(|G| = [E:F]\)。同样，\(f(x)\) 也可以看成是 \(F'\) 上的可分多项式，故 \(|G| = [E:F']\)。于是 \([E:F] = [E:F']\)，但 \(F \subseteq F'\)，因此只可能 \(F = F'\)。

(3) ⟹ (1)：首先由引理 7-1 可知 \([E:F] \leqslant |G| \lt \infty\)，故 \(E\) 是 \(F\) 的有限维扩域。要证明 \(E\) 是 \(F\) 的正规可分扩域，只须证明 \(E\) 中任一元 \(u\) 的极小多项式 \(g(x)\) 的所有根都在 \(E\) 中且无重根即可。设 \(G = \{\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n\}\)，\(g(x)\) 的次数等于 \(m\)。显然 \(\{\eta_1(u), \eta_2(u), \dots, \eta_n(u)\}\) 仍是 \(g(x)\) 在 \(E\) 中的一组根，设其中不相同的元共 \(k\) 个，不妨设为 \(\{\eta_1(u), \dots, \eta_k(u)\}\)，现只须证明 \(k = m\) 即可。作多项式 \(h(x) = (x - \eta_1(u))\cdots(x - \eta_k(u))\)，将 \(G\) 中任一元 \(\eta\) 作用在 \(h(x)\) 上。由于 \(\{\eta\eta_1(u), \dots, \eta\eta_k(u)\}\) 是 \(\{\eta_1(u), \dots, \eta_k(u)\}\) 的一个置换，故 \(\eta(h(x)) = h(x)\)。也就是说 \(h(x)\) 的系数是 \(G\) 不变的，因此 \(h(x)\) 是 \(F = \operatorname{Inv} G\) 上的多项式。但是 \(g(x)\) 是 \(F\) 上不可约多项式，故只可能 \(h(x) = g(x)\)，即 \(k = m\)。也就是 \(g(x)\) 在 \(E\) 中有 \(m = \deg g(x)\) 个不同的根。这就证明了 (1)。

最后，等式 \(G = \operatorname{Gal} E/\operatorname{Inv} G\) 及 \(F = \operatorname{Inv}\operatorname{Gal} E/F\) 在 (2) ⟹ (3) 中已给出证明。证毕。

首先我们注意到这样两个事实：一是若 \(K\) 是 \(E/F\) 的中间域，则 \([E:K] \lt \infty\) 且 \(E\) 也是 \(K\) 的可分、正规扩域（参见 §4.5 习题 1），于是 \(E\) 是 \(K\) 的 Galois 扩域；二是 \(G = \operatorname{Gal} E/F\) 是一个有限群，因此 \(G\) 的任一子群 \(H\) 也是有限群。这样定理 7-1 的结论对 \(E/K\) 及 \(H\) 皆适用。

(1) 由定理 7-1 最后的结论可知：\(H = \operatorname{Gal} E/\operatorname{Inv} H\)，\(K = \operatorname{Inv}\operatorname{Gal} E/K\) 对任一 \(G\) 的子群 \(H\) 及 \(E/F\) 的中间域 \(K\) 成立，这表明 \(\varphi, \psi\) 是互逆的一一对应。

(2) 由 (1) 及 \(\varphi, \psi\) 的性质即得。

(3) 由于 \(E\) 是 \(\operatorname{Inv} H\) 上的可分扩域，\(H = \operatorname{Gal} E/\operatorname{Inv} H\)，故 \(|H| = [E: \operatorname{Inv} H]\) 成立。又 \([E:F] = |G|\)，但 \([E:F] = [E:\operatorname{Inv} H][\operatorname{Inv} H:F]\)，\(|G| = |H|[G:H]\)，因此从前面的等式即知 \([G:H] = [\operatorname{Inv} H:F]\) 成立。

(4) 设 \(H\) 是 \(G\) 的子群，\(K = \operatorname{Inv} H\)，\(\eta \in G\)。现来求 \(H\) 的共轭子群 \(\eta H \eta^{-1}\) 在 \(\varphi\) 下的像，即 \(\operatorname{Inv}\eta H \eta^{-1}\)。我们注意到对任意的 \(k \in K\) 及任意的 \(h \in H\)，\(\eta h \eta^{-1}(\eta(k)) = \eta h(k) = \eta(k)\)。这表明 \(\eta(K)\)（它也是 \(E/F\) 的中间域）是 \(\eta H \eta^{-1}\) 不变的。反之若 \(a \in E\)，且 \(\eta h \eta^{-1}(a) = a\)，则 \(h\eta^{-1}(a) = \eta^{-1}(a)\)，即 \(\eta^{-1}(a) \in \operatorname{Inv} H = K\)，故 \(a \in \eta(K)\)。上述事实表明 \(\operatorname{Inv}\eta H \eta^{-1} = \eta(K)\)。

现设 \(H\) 是 \(G\) 的正规子群，则 \(\eta H \eta^{-1} = H\) 对任意的 \(\eta \in G\) 成立，于是 \(\eta(K) = K\)。由定理 6-2 可知 \(K\) 是 \(F\) 的正规扩域。反之若 \(K\) 是 \(F\) 的正规扩域，则再由定理 6-2 可知 \(\eta(K) = K\)，于是 \(\eta H \eta^{-1} = H\) 对一切 \(\eta \in G\) 成立，即 \(H\) 是 \(G\) 的正规子群。

最后，由于 \(\eta(K) = K\)，故 \(\eta\) 限制在 \(K\) 上是 \(K/F\) 的自同构。令 \(\xi\) 是 \(G \rightarrow \operatorname{Gal} K/F\) 的映射：\(\xi(\eta)\) 等于 \(\eta\) 在 \(K\) 上的限制。容易看出 \(\xi\) 是一个群同态且 \(\operatorname{Ker} \xi = H\)。由同态基本定理可知 \(G/H\) 同构于 \(\operatorname{Gal} K/F\) 的一个子群。但 \(K = \operatorname{Inv} H\) 且由 (3) 可知 \([G:H] = [\operatorname{Inv} H:F]\)，又因为 \(K\) 是 \(F\) 的可分扩域（参见 §4.5 习题 1），故 \(|\operatorname{Gal} K/F| = [K:F]\)，由此即知 \(\operatorname{Im} \xi = \operatorname{Gal} K/F\)，也就是 \(\operatorname{Gal}(\operatorname{Inv} H/F) \cong G/H\)。证毕。

任何一个特征为 \(p\) 的域必含有一个素子域同构于 \(\mathbf{Z}_p\)，因此 \(F\) 可以看成为 \(\mathbf{Z}_p\) 的扩域。设 \([F:\mathbf{Z}_p] = n\)，则由于 \(\mathbf{Z}_p\) 有 \(p\) 个元，故 \(F\) 的元素个数为 \(p^n\)。

反之，给定 \(n\)，令 \(q = p^n\)，作 \(\mathbf{Z}_p\) 上的多项式 \(f(x) = x^q - x\)，它的分裂域记为 \(F\)。由于 \(f'(x) = -1 \neq 0\)，故 \(f(x)\) 在 \(F\) 中无重根。但由于任一多项式的分裂域必是正规扩域，故 \(f(x)\) 的根全在 \(F\) 中，而 \(\deg f(x) = p^n\)，因此 \(f(x)\) 的 \(p^n\) 个根全在 \(F\) 中。记 \(f(x)\) 的 \(p^n\) 个根组成的集合为 \(K\)，\(\varphi\) 为 \(F\) 上的 Frobenius 映射：\(\varphi(a) = a^p\)，则 \[ \varphi^n(r) = r \quad \text{对任意的 } r \in K. \] 反之，若 \(\varphi^n(a) = a\)，即 \(a^{p^n} - a = 0\)，则 \(a \in K\)。因为 \(\varphi^n\) 是 \(E\) 的自同构，在自同构下不动的元素全体构成 \(F\) 的一个子域，所以可知 \(K\) 是 \(F\) 的子域。但 \(f(x)\) 在 \(K\) 上分裂，由假设 \(F\) 是 \(f(x)\) 的分裂域，因而只可能 \(F = K\)，于是 \(|F| = p^n\)。

最后设 \(F, F'\) 为元素个数都等于 \(q = p^n\) 的两个域。\(F, F'\) 的素子域都同构，因此不妨设它们都是 \(\mathbf{Z}_p\) 上的扩域。作 \(\mathbf{Z}_p\) 上多项式 \(f(x) = x^q - x\)。由于 \(F^{*}\) 是一个阶为 \(q - 1\) 的循环群（见第三章），因此对 \(F^{*}\) 中任一元 \(a\) 必有 \(a^{q-1} = 1\)，或 \(a^q = a\)。显然 \(0^q = 0\)，故 \(F\) 中所有元都是 \(f(x)\) 的根，从而 \(F\) 就是 \(f(x)\) 的分裂域；同理 \(F'\) 也是 \(f(x)\) 的分裂域，因此 \(F\) 与 \(F'\) 必同构。证毕。

先求 \(E\) 在其素子域 \(\mathbf{Z}_p\) 上的 Galois 群。由定理 8-1 的证明知道 \(E\) 是 \(f(x) = x^{p^n} - x\) 的分裂域（这里假定 \(|E| = p^n\)），因此 \(|\operatorname{Gal} E/\mathbf{Z}_p| = n\)。由于 \(E\) 上的 Frobenius 映射 \(\varphi\) 是自同构且一个域的自同构总保持素子域中元不动，故 \(\varphi \in \operatorname{Gal} E/\mathbf{Z}_p\)。现来求 \(\varphi\) 的周期 \(k\)。显然 \[ a^{p^k} = \varphi^k(a) = a, \quad \text{对任意的 } a \in E, \] 即有 \(a^{p^k - 1} = 1\ (a \neq 0)\)。而 \(E^{*}\) 是个循环群，其阶为 \(p^n - 1\)，因而 \(p^n - 1 \leqslant p^k - 1\)，即有 \(n \leqslant k\)。另一方面 \(k\) 是 \(\varphi\) 的周期，\(\varphi \in \operatorname{Gal} E/\mathbf{Z}_p\) 而 \(|\operatorname{Gal} E/\mathbf{Z}_p| = n\)，故 \(k \mid n\)。由此可见 \(k = n\)。这表明 \(\operatorname{Gal} E/\mathbf{Z}_p\) 是一个阶为 \(n\) 的循环群且 \(\varphi\) 是其生成元。

利用 Galois 对应知道 \(\operatorname{Gal} E/F\) 是 \(\operatorname{Gal} E/\mathbf{Z}_p\) 的子群且 \(|\operatorname{Gal} E/F| = m\)。由于循环群的子群仍是循环群，故 \(\operatorname{Gal} E/F\) 是 \(m\) 阶循环群。若 \(q = p^r\)，容易算出对任意的 \(a \in F\)，\(\varphi^r(a) = a^{p^r} = a^q = a\)，因此 \(\varphi^r \in \operatorname{Gal} E/F\)。由 \(n = [E:\mathbf{Z}_p] = [E:F][F:\mathbf{Z}_p] = mr\) 及循环群的性质即知 \(\varphi^r\) 是 \(\operatorname{Gal} E/F\) 的生成元。证毕。

(1) 设 \(E = F(d)\)，\(d^n \in F\)，1 的 \(n\) 次根集为 \(R\)，则多项式 \(x^n - d^n\) 的根为 \(\{zd \mid z \in R\}\)，因此 \(E\) 是 \(x^n - d^n\) 的分裂域。作 \(\operatorname{Gal} E/F \rightarrow R\) 的映射 \(\varphi\) 如下：若 \(\eta \in \operatorname{Gal} E/F\)，\(\eta(d) = zd\)，则令 \(\varphi(\eta) = z\)。容易验证 \(\varphi\) 是一个群同态。又若 \(\varphi(\eta) = 1\)，则 \(\eta(d) = d\)，但 \(E = F(d)\)，故 \(\eta\) 为恒等自同构。这一事实表明 \(\varphi\) 是单同态。于是 \(\operatorname{Gal} E/F\) 同构于 \(R\) 的一个子群，因此 (1) 的结论成立。

(2) 由于 \(F\) 的循环扩域 \(E\) 必是 \(F\) 的 Galois 扩域。又因为一个有限群只有有限多个子群，因此根据 Galois 对应知道 \(E/F\) 只有有限个中间域。再由定理 1-3 知道，\(E\) 是 \(F\) 的单扩张，故可设 \(E = F(c)\)。设 \(\operatorname{Gal} E/F = \langle \eta \rangle\)，作 \[ c_i = \eta^{i-1}(c), \quad i = 1, 2, \cdots, n. \] 设 \(\{z_1, z_2, \dots, z_n\}\) 为 1 的 \(n\) 次根集，\(z\) 是其中的一个本原根。令 \[ d = c_1 + c_2z + \cdots + c_nz^{n-1}, \tag{1} \] 则 \(\eta(d) = c_2 + c_3z + \cdots = z^{-1}(c_1 + c_2z + \cdots) = z^{-1}d\)，\(\eta(d^n) = \eta(d)^n = z^{-n}d^n = d^n\)。由于 \(\operatorname{Gal} E/F = \langle \eta \rangle\)，故 \(d^n \in F\)。因为 (1) 式中 \(z\) 取为本原根，且 \(\eta^k(d) = z^{-k}d\)，所以可知 \(\{\eta^k(d) \mid k = 0, 1, \cdots, n-1\}\) 为 \(n\) 个互不相同的元素。\(f(x) = \prod_{k=0}^{n-1}(x - \eta^k(d)) \in F[x]\)，\(\deg f(x) = n\)。又 \(\eta\) 作用在根上引起一个 \(n\) 循环，故 \(f(x)\) 不可约，因而 \([F(d):F] = n\)，于是 \(E = F(d)\)，\(d^n \in F\)。证毕。

假设 \(\varphi_n(x) = g(x)h(x)\)，且不妨设 \(g(x), h(x)\) 都是整系数首一多项式，并假定 \(g(x)\) 是 \(\varphi_n(x)\) 的不可约因子（注：由第三章整环上的多项式理论知 \(\mathbf{Z}[x]\) 中多项式的不可约性等价于它作为 \(\mathbf{Q}[x]\) 中多项式的不可约性，因此我们可作上述假定）。现设 \(z\) 是 1 的 \(n\) 次本原根，\(p\) 是与 \(n\) 互素的素数，显然 \(z^p\) 仍是 1 的 \(n\) 次本原根。假定 \(z\) 是 \(g(x)\) 的根。如果 \(z^p\) 不是 \(g(x)\) 的根，则必是 \(h(x)\) 的根，于是 \(z\) 是多项式 \(k(x) = h(x^p)\) 的根。注意到 \(g(x)\) 不可约，故 \(g(x)\) 是 \(z\) 在 \(\mathbf{Q}\) 上的极小多项式，从而有 \(g(x) \mid k(x)\) 成立。令 \(k(x) = g(x)\cdot l(x)\)，\(l(x) \in \mathbf{Z}[x]\)。

现考虑 \(\mathbf{Z} \rightarrow \mathbf{Z}_p\) 的自然同态 \(i \mapsto \overline{i}\)，它导出 \(\mathbf{Z}[x] \rightarrow \mathbf{Z}_p[x]\) 的映上同态 \(f(x) \mapsto \overline{f}(x)\)。于是 \(\overline{k}(x) = \overline{g}(x)\overline{l}(x)\)。但 \(\overline{k}(x) = \overline{h(x^p)} = \overline{h(x)}^{\,p}\)，故 \(\overline{g}(x)\overline{l}(x) = \overline{h(x)}^{\,p}\)，这表明 \((\overline{g}(x), \overline{h}(x)) \neq 1\)。又 \(x^n - 1 = m(x)\varphi_n(x) = m(x)g(x)h(x)\)，\(m(x) \in \mathbf{Z}[x]\)，由此可导出 \(x^n - \overline{1} = \overline{m}(x)\overline{g}(x)\overline{h}(x)\)。但 \(\overline{g}(x), \overline{h}(x)\) 有非平凡公因子，故 \(x^n - \overline{1}\) 在 \(\mathbf{Z}_p\) 的某个扩域中有重根。然而因为 \((n, p) = 1\)，\((x^n - 1)' = nx^{n-1} \neq 0\)，这就导出了矛盾。产生矛盾的根源在于假设了 \(z^p\) 不是 \(g(x)\) 的根。因此对任意与 \(n\) 互素的素数 \(p\)，\(z^p\) 也是 \(g(x)\) 的根。

现设 \(r\) 是任一与 \(n\) 互素的整数，则 \(z^r\) 也是 1 的 \(n\) 次本原根，且当 \(r\) 跑遍小于 \(n\) 且与 \(n\) 互素的正整数时，\(z^r\) 跑遍 1 的 \(n\) 次本原根。令 \(r = p_1\cdots p_s\)，其中各个 \(p_i\) 均为素数，显然 \((p_i, n) = 1\)。由上面证明的结论不难看出 \(z^r\) 也必是 \(g(x)\) 的根。这样，\(g(x)\) 包含了 1 的所有 \(n\) 次本原根，即 \(g(x) = \varphi_n(x)\)。证毕。

充分性：设 \(G_F(f)\) 为可解群且其阶为 \(m\)，\(E\) 是 \(f(x)\) 在 \(F\) 上的分裂域，\(z\) 是 1 的 \(m\) 次本原根。令 \(F_1 = F\)，\(F_2 = F(z)\)，\(K = E(z)\)，则 \(K\) 是 \(f(x)\) 在 \(F_2\) 上的分裂域。由引理 10-1 知 \(\operatorname{Gal} K/F_2\) 同构于 \(G_F(f)\) 的一个子群，因此也是一个可解群。设 \(H = \operatorname{Gal} K/F_2\)，\(H\) 的合成群列为 \[ H = H_1 \supseteq H_2 \supseteq \cdots \supseteq H_{r+1} = 1, \] 则 \(H_i/H_{i+1}\) 是素数 \(p_i\) 阶循环群。由 Galois 对应得 \(K/F_2\) 的子域链： \[ F_2 \subseteq F_3 \subseteq \cdots \subseteq F_{r+2} = K, \] 这里 \([F_{i+1}: F_i] = p_i\) 且 \(F_{i+1}\) 是 \(F_i\) 的正规扩域且 \(|\operatorname{Gal} F_{i+1}/F_i| = p_i\)。注意到 \(F_2\) 含有 1 的 \(m\) 次本原根，而由于 \(p_i \mid m\)，\(F_i\) 也含有 1 的 \(p_i\) 次本原根。由定理 9-1 知道 \(F_{i+1}\) 是 \(F_i\) 的根扩张，即存在 \(d_i \in F_{i+1}\) 使 \(F_{i+1} = F_i(d_i)\) 且 \(d_i^{p_i} \in F_i\)。另一方面 \(F_2 = F(z)\)，\(z^m = 1 \in F\)，因此 \(K\) 有一个根塔，而 \(K\) 包含 \(f(x)\) 的分裂域 \(E\)，故 \(f(x) = 0\) 可用根式求解。

必要性：假定 \(f(x) = 0\) 可用根式求解。这时存在 \(F\) 的扩域 \(K/F\) 的一个根塔： \[ F = F_1 \subseteq F_2 \subseteq \cdots \subseteq F_{r+1} = K, \tag{2} \] 其中 \(F_{i+1} = F_i(d_i)\)，\(d_i^{n_i} \in F_i\)，且 \(K\) 包含 \(f(x)\) 在 \(F\) 上的分裂域 \(E\)。设 \(n\) 是诸 \(n_i\) 的最小公倍数，\(z\) 是 1 的 \(n\) 次本原根。首先注意到由引理 10-2，可设 \(K\) 是 \(F\) 的正规扩域（否则用其正规闭包代替）。由假定 \(F\) 的特征为零，故 \(K\) 是 \(F\) 的 Galois 扩域。由定理 7-1 可设 \(K\) 是 \(F\) 上某个多项式 \(g(x)\) 的分裂域。作 \(K\) 的扩域 \(K(z)\)，显然 \(K(z)\) 是 \(g(x)(x^n - 1)\) 的分裂域，故是 \(F\) 的正规扩张。由于 \(z^n = 1 \in F\)，我们可以将 (2) 式变动一下使之成为 \[ F = F'_1 \subseteq F'_2 = F(z) \subseteq F'_3 = F'_2(d_1) \subseteq \cdots \subseteq K(z), \tag{3} \] 则 (3) 式是 \(K(z)\) 的一个根塔。设 \(H = \operatorname{Gal} K(z)/F\)，同时设 \(H_i\) 是 \(H\) 的子群且在 Galois 对应中它相应的中间域为 \(F'_i\)。注意到 \(F'_{i+1}\) 是 \(F'_i\) 的正规扩域（事实上对 \(i \geqslant 2\)，由于 \(F'_2\) 含有 1 的 \(n_i\) 次根，\(F'_{i+1}\) 是 \(x^{n_i} - d_i^{n_i} \in F'_i[x]\) 的分裂域，而另一方面 \(F'_2\) 显然是 \(F\) 的正规扩域），故 \(H_{i+1}\) 是 \(H_i\) 的正规子群，且 \(\operatorname{Gal} F'_{i+1}/F'_i \cong H_i/H_{i+1}\)。但由定理 9-1 及引理 9-1 可知 \(\operatorname{Gal} F'_{i+1}/F'_i\) 是 Abel 群，故 \(H_i/H_{i+1}\) 也是 Abel 群。于是 \(H\) 含有一个正规群列，其商因子皆为 Abel 群，即知 \(H\) 是可解群。再由于 \(K/F \supseteq E/F\)，\(E\) 是正规扩域，由 Galois 理论基本定理知 \(\operatorname{Gal} E/F\) 同构于 \(H = \operatorname{Gal} K(z)/F\) 的一个商群，因此 \(\operatorname{Gal} E/F\) 是可解群。证毕。

设 \(E\) 是 \(f(x)\) 的分裂域，\(\alpha\) 是 \(f(x)\) 的一个根。由于 \(f(x)\) 不可约，故 \([\mathbf{Q}(\alpha):\mathbf{Q}] = p\)。但 \[ |G_{\mathbf{Q}}(f)| = [E:\mathbf{Q}] = [E:\mathbf{Q}(\alpha)]\,[\mathbf{Q}(\alpha):\mathbf{Q}], \] 因此 \(p \mid |G_{\mathbf{Q}}(f)|\)。由 Sylow 定理及 Cauchy 引理可知 \(G_{\mathbf{Q}}(f)\) 有一个 \(p\) 阶元。

因为 \(f(x)\) 是不可约可分多项式，故 \(f(x)\) 在 \(E\) 中有 \(p\) 个不同的根，记为 \(R = \{\alpha_1, \dots, \alpha_p\}\)。作 \(G_{\mathbf{Q}}(f) \to S_p\) 的映射 \(\varphi\) 如下：若 \(\eta \in G_{\mathbf{Q}}(f)\)，则 \(\eta|_R\) 是 \(R\) 的一个置换，记之为 \(\sigma\)，令 \(\varphi(\eta) = \sigma\)。不难验证这是个群同态，且由于 \(E\) 由 \(\mathbf{Q}\) 及 \(\alpha_1, \dots, \alpha_p\) 生成，\(\varphi\) 还是个单同态。经过将 \(R\) 中的元适当的排列，可设 \(G_{\mathbf{Q}}(f)\) 中 \(p\) 阶元在 \(\varphi\) 下的像为 \(p\)-循环 \((1, 2, \dots, p)\)。

又设 \(\alpha_1, \alpha_2\) 是 \(f(x)\) 的两个非实根，则由于 \(f(x) \in \mathbf{Q}[x]\)，\(\alpha_1\) 与 \(\alpha_2\) 必共轭。又 \(E = \mathbf{Q}(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_p)\)，故复数域的共轭变换限制在 \(E\) 上导出了 \(E/\mathbf{Q}\) 的一个自同构 \(\xi\)。显然 \(\xi^2 = 1\)，即 \(\xi\) 是周期等于 2 的元。记 \(\varphi(\xi) = \tau\)，则 \(\tau\) 是 \(S_p\) 中的一个对合，即 \(\tau^2 = 1\)。这样 \(\operatorname{Im} \varphi\) 含有对合 \(\tau\) 及 \(p\)-循环 \((1, 2, \cdots, p)\)，由对称群的理论知 \(\operatorname{Im} \varphi = S_p\)。这就证明了 \(G_{\mathbf{Q}}(f) \cong S_p\)。证毕。

设 \(E\) 是 \(f(x) \in \mathbf{Q}[t_1, \cdots, t_n][x]\) 的分裂域，设 \(f(x)\) 在 \(E[x]\) 中分解为 \[ f(x) = (x - x_1)(x - x_2)\cdots(x - x_n), \tag{5} \] 则 \(E = \mathbf{Q}(t_1, \cdots, t_n)(x_1, \cdots, x_n)\)。由 Vieta 定理知道：

因此 \(E = \mathbf{Q}(x_1, \cdots, x_n)\)。

我们首先要证明 \(\{x_1, x_2, \cdots, x_n\}\) 是 \(\mathbf{Q}\) 上代数无关元。用反证法：设有非零多项式 \(h(y_1, \cdots, y_n) \in \mathbf{Q}[y_1, \cdots, y_n]\)，使得 \(h(x_1, \cdots, x_n) = 0\)。设 \(\sigma\) 是 \(\{y_1, \cdots, y_n\}\) 的一个置换，作 \[ \prod_{\sigma \in S_n} h(y_{\sigma(1)}, y_{\sigma(2)}, \cdots, y_{\sigma(n)}), \] 这是一个 \(\mathbf{Q}[y_1, \cdots, y_n]\) 上的对称多项式且将 \(x_i\) 代入 \(y_i\) 后等于 0。应用高等代数的知识知道，任一对称多项式都可表示为初等对称多项式的多项式。这一事实说明存在一个 \(\mathbf{Q}\) 上的非零 \(n\) 元多项式 \(g\)，使 \(g(t_1, t_2, \cdots, t_n) = 0\)。但这与 \(t_1, t_2, \cdots, t_n\) 是 \(\mathbf{Q}\) 上未定元的假定相矛盾，因此 \(\{x_1, x_2, \cdots, x_n\}\) 在 \(\mathbf{Q}\) 上代数无关。特别 \(x_i \neq x_j\ (i \neq j)\)。

如同以前所做，作 \(f(x)\) 的 Galois 群 \(G \rightarrow S_n\) 的映射 \(\varphi\)：对 \(\eta \in G\)，\(\varphi(\eta)\) 为 \(\eta\) 限制在根集 \(\{x_1, x_2, \cdots, x_n\}\) 上引起的置换 \(\sigma\)。则 \(\varphi\) 是单同态，现要证明它也是一个满同态。设 \(\tau \in S_n\)，将 \(\tau\) 看成是 \(\{x_1, x_2, \cdots, x_n\}\) 的一个置换。因为 \(\{x_1, x_2, \cdots, x_n\}\) 是 \(\mathbf{Q}\) 上代数无关元，可作 \(\mathbf{Q}[x_1, x_2, \cdots, x_n]\) 的自同构 \(\eta\) 如下：\(\eta(x_i) = x_{\tau(i)}\)，\(\eta(a) = a\) 对一切 \(a \in \mathbf{Q}\)。\(\eta\) 诱导出 \(\mathbf{Q}(x_1, x_2, \cdots, x_n)\) 的一个自同构，仍记为 \(\eta\)。再看 \(t_i\) 在 \(\eta\) 下的像：由 (6) 式可知 \(t_i\) 是 \(\{x_i\}\) 的对称多项式，因此 \(\eta(t_i) = t_i\)。这表明 \(\eta \in \operatorname{Gal}\mathbf{Q}(x_1, \cdots, x_n)/\mathbf{Q}(t_1, \cdots, t_n) = G\)。显然 \(\varphi(\eta) = \tau\)，这就证明了 \(\varphi\) 是满同态。于是我们证明了 \(G \cong S_n\)。证毕。

对特征标的个数用数学归纳法。设 \(n = 1\)，则由 \(a\varphi(g) = 0\) 及 \(\varphi(g) \neq 0\) 立即得 \(a = 0\)。

假定对小于 \(n\) 的一切自然数结论成立。设 \(\varphi_1, \varphi_2, \dots, \varphi_n\) 是 \(n\) 个不同的特征标。存在 \(a_1, a_2, \cdots, a_n \in F\)，使对一切 \(g \in G\) 成立 \[ a_1\varphi_1(g) + a_2\varphi_2(g) + \cdots + a_n\varphi_n(g) = 0. \tag{1} \] 不妨设所有的 \(a_i \neq 0\)（不然可立即归结为小于 \(n\) 的情形）。由于 \(\varphi_1 \neq \varphi_2\)，故必存在 \(h \in G\)，使 \(\varphi_1(h) \neq \varphi_2(h)\)。但 (1) 式对任意的 \(g \in G\) 成立，故 \[ a_1\varphi_1(gh) + a_2\varphi_2(gh) + \cdots + a_n\varphi_n(gh) = 0. \tag{2} \] 因为 \(\varphi_i\) 是群同态，所以 (2) 式可化为 \[ a_1\varphi_1(g)\varphi_1(h) + a_2\varphi_2(g)\varphi_2(h) + \cdots + a_n\varphi_n(g)\varphi_n(h) = 0. \tag{3} \] 将 (1) 式两端乘以 \(\varphi_1(h)\) 并减去 (3) 式得： \[ (a_2\varphi_1(h) - a_2\varphi_2(h))\varphi_2(g) + (a_3\varphi_1(h) - a_3\varphi_3(h))\varphi_3(g) + \cdots + (a_n\varphi_1(h) - a_n\varphi_n(h))\varphi_n(g) = 0. \tag{4} \] (4) 式对一切 \(g \in G\) 成立，由归纳假设得 \(a_2\varphi_1(h) - a_2\varphi_2(h) = 0\)。但 \(\varphi_1(h) \neq \varphi_2(h)\)，必使 \(a_2 = 0\)，这与 \(a_i \neq 0\) 的假定矛盾。证毕。

我们分两种情形来证明：(1) \(F\) 为有限域；(2) \(F\) 为无限域。

(1) 因为有限域上的 Galois 扩域的 Galois 群必是循环群（参见定理 8-2），故可设 \(G = \operatorname{Gal} E/F = \langle \eta \rangle\) 且 \([E:F] = |G| = n\)。于是 \(\eta^n = 1\) 且 \(\{1, \eta, \eta^2, \cdots, \eta^{n-1}\}\) 是 \(E/F\) 的不同的自同构。显然 \(E/F\) 的任一自同构均可看成是 \(F\)-线性空间 \(E\) 上的线性变换。由 \(\eta^n = 1\) 可知 \(\eta\) 作为 \(E\) 的线性变换适合多项式 \[ f(x) = x^n - 1. \tag{5} \] 另外因为 \(\{1, \eta, \eta^2, \cdots, \eta^{n-1}\}\) 是不同的自同构，由推论 11-1 知道它们是 \(F\)-线性无关的。这表明 (5) 式是 \(\eta\) 作为 \(E\) 上的线性变换适合的极小多项式，它的次数恰为 \(n = [E:F]\)。于是 \(\eta\) 的极小多项式就是它的特征多项式。由线性代数知存在 \(\alpha \in E\)，\(\{\alpha, \eta(\alpha), \cdots, \eta^{n-1}(\alpha)\}\) 线性无关，它们就是所要求的正规基。

(2) 设 \(G = \operatorname{Gal} E/F = \{\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n\}\)。因为 \(G\) 是一个有限群，只有有限个子群，因而由 Galois 对应知道 \(E/F\) 只有有限个中间域。由本章定理 1-3 知道 \(E\) 必是 \(F\) 的单扩张，即存在 \(u \in E\) 使 \(E = F(u)\)。现假定 \(u\) 在 \(F\) 上的极小多项式为 \(f(x)\)。由于 \(E\) 是 \(F\) 的可分扩域，故 \(f(x)\) 是一个次数为 \(n\) 的可分的不可约多项式，也就是说 \(f(x)\) 在 \(E\) 中无重根（从 \(E\) 的正规性知道 \(f(x)\) 的根全在 \(E\) 中），因此 \(f'(u) \neq 0\)。再设 \(u_i = \eta_i(u)\)，\(i = 1, 2, \dots, n\)，则 \(u_i\) 也是 \(f(x)\) 的根。且由于 \(E = F(u)\)，从 \(u_i = u_j\) 可推出 \(\eta_i = \eta_j\)，故 \(u_1, \dots, u_n\) 是 \(f(x)\) 的 \(n\) 个不同的根。作 \[ g(x) = \frac{f(x)}{(x - u)f'(u)}, \qquad g_i(x) = \frac{f(x)}{(x - u_i)f'(u_i)}, \] 则 \(g(x), g_i(x)\) 是 \(E\) 上的多项式且 \(g_i(x) = \eta_i(g(x))\)。显然若 \(k \neq i\)，则 \(u_k\) 是 \(g_i(x)\) 的根，因此 \[ f(x) \mid g_i(x)g_k(x) \quad (i \neq k). \tag{6} \]

作 \(E\) 上的多项式 \(h(x) = g_1(x) + g_2(x) + \dots + g_n(x) - 1\)，则 \(\deg h(x) \leqslant n - 1\)。但另一方面由 \(g_i(u_k) = 0\)，\(g_i(u_i) = 1\) 知道 \(h(u_i) = 0\)，\(i = 1, 2, \dots, n\)，因此 \(h(x) = 0\)，即 \[ g_1(x) + g_2(x) + \dots + g_n(x) = 1. \tag{7} \] 在 (7) 式两端乘以 \(g_i(x)\) 并利用 (6) 式可得： \[ f(x) \mid (g_i(x)^2 - g_i(x)). \tag{8} \]

现考虑下列 \(n\) 阶行列式： \[ D(x) = |\eta_i\eta_k(g(x))| \quad (1 \leqslant i, k \leqslant n). \] \(D(x)\) 是 \(E\) 上的多项式，则 \(D(x)^2 = |\eta_i\eta_k(g(x))|^{\mathrm{t}}\,|\eta_i\eta_k(g(x))|\)，其中 \(\mathrm{t}\) 表示行列式的转置。用行列式乘法及 (6) 式不难算出当 \(i \neq k\) 时 \(f(x) \mid c_{ik}\)，这里 \(c_{ik}\) 表示 \((D(x))^2\) 这一行列式的第 \((i, k)\) 项。而当 \(i = k\) 时第 \((i, k)\) 项为 \(c_{ii} = (\eta_i(g_1(x)))^2 + \dots + (\eta_i(g_n(x)))^2\)。由 (7) 式及 (8) 式可知 \(f(x) \mid c_{ii} - 1\)。于是 \[ (D(x))^2 \equiv 1 \pmod{f(x)}, \tag{9} \] 这表明 \(D(x) \neq 0\)。由于这时 \(E\) 是无限域，故必存在 \(v \in E\) 使得 \(D(v) \neq 0\)。令 \(\alpha = g(v)\)，则 \[ D(v) = |\eta_i\eta_k(\alpha)| \neq 0. \]

最后要证 \(\eta_1(\alpha), \eta_2(\alpha), \cdots, \eta_n(\alpha)\) 是 \(F\)-线性无关的。设 \(a_1, a_2, \cdots, a_n \in F\)，使得 \[ a_1\eta_1(\alpha) + a_2\eta_2(\alpha) + \cdots + a_n\eta_n(\alpha) = 0. \tag{10} \] \(G\) 中的元素依次作用于 (10) 式便得到一个齐次线性方程组（将 \(a_i\) 看成是未知数），其系数行列式等于 \(|\eta_i\eta_k(\alpha)| \neq 0\)，因此只有唯一解 \(a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0\)。由于 \([E:F] = n\)，因此 \(\eta_1(\alpha), \eta_2(\alpha), \cdots, \eta_n(\alpha)\) 就是所要求的正规基。证毕。

设对某个 \(i\)，\(\alpha_i\) 是 \(F_{i-1}\) 上的代数元，则存在 \(F_{i-1}\) 上多项式 \(f(x)\)，使 \[ f(\alpha_i) = c_0 + c_1\alpha_i + \cdots + c_r\alpha_i^r = 0, \tag{1} \] 其中每个 \(c_j = p_j(\alpha_1, \cdots, \alpha_{i-1})/q_j(\alpha_1, \cdots, \alpha_{i-1})\)，\(p_j, q_j\) 为 \(F[x_1, \cdots, x_{i-1}]\) 中的多项式且 \(q_j \neq 0\)。将 \(c_j\) 代入 \(f\) 并去分母便得到一个 \(F[x_1, \cdots, x_i]\) 中的非零多项式 \(g\)，适合 \(g(\alpha_1, \cdots, \alpha_i) = 0\)。这表明 \(\{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\}\) 是代数相关的。

反之，设 \(\{\alpha_1, \cdots, \alpha_n\}\) 代数相关，则存在 \(j\) 使 \(\{\alpha_1, \cdots, \alpha_{j-1}\}\) 是 \(F\) 上代数无关元而 \(\{\alpha_1, \cdots, \alpha_j\}\) 是代数相关的。于是存在 \(F[x_1, \cdots, x_j]\) 中的非零多项式 \(g\)，使 \(g(\alpha_1, \cdots, \alpha_j) = 0\)。不难将 \(g\) 变成系数在 \(F[x_1, \cdots, x_{j-1}]\) 上的以 \(x_j\) 为不定元的多项式，再将 \(\alpha_1, \cdots, \alpha_{j-1}\) 代入系数便得域 \(F_{j-1}\) 上的以 \(x_j\) 为未定元的多项式，记之为 \(h(x_j)\)。显然 \(h(\alpha_j) = 0\)，即 \(\alpha_j\) 是 \(F_{j-1}\) 上的代数元。证毕。

对 \(n\) 用数学归纳法。\(n = 1\) 时结论显然成立。设对 \(n - 1\) 结论成立。现来看 \(E = F(\alpha_1, \dots, \alpha_n)\)。若 \(\{\alpha_1, \dots, \alpha_n\}\) 在 \(F\) 上代数相关，则由定理 12-1，存在某个 \(\alpha_i\) 是 \(F(\alpha_1, \dots, \alpha_{i-1})\) 上的代数元。由归纳假设知道存在 \(\{\alpha_1, \dots, \alpha_{i-1}, \alpha_{i+1}, \dots, \alpha_n\}\) 的子集 \(S_0\)，它在 \(F\) 上代数无关且 \(F(\alpha_1, \dots, \alpha_{i-1}, \alpha_{i+1}, \dots, \alpha_n)\) 是 \(F(S_0)\) 上的代数扩域。但代数扩域的代数扩域仍是代数扩域，因此 \(E\) 是 \(F(S_0)\) 的代数扩域。

现设 \(\{\alpha_1, \dots, \alpha_m\}, \{\beta_1, \dots, \beta_k\}\) 是 \(E\) 在 \(F\) 上的两组超越基。我们先证明这样一个事实：在集合 \(\{\alpha_1, \dots, \alpha_m\}\) 中任意去掉一个元，比如说为 \(\alpha_1\)，则必可在 \(\{\beta_1, \dots, \beta_k\}\) 中找到一个元 \(\beta_i\)，使它加入 \(\{\alpha_2, \dots, \alpha_m\}\) 后，\(\{\beta_i, \alpha_2, \dots, \alpha_m\}\) 仍在 \(F\) 上代数无关。一旦这一结论获证，不断地重复这一过程，可将 \(\{\alpha_1, \dots, \alpha_m\}\) 中的元都换掉，于是必有 \(m \leqslant k\)。同理可证 \(k \leqslant m\)，于是即可证明 \(m = k\)。现在来证明上述结论。假定任一 \(\beta_i\) 加入 \(\{\alpha_2, \dots, \alpha_m\}\) 后都是代数相关的，则 \(\beta_i\) 是 \(F(\alpha_2, \dots, \alpha_m)\) 上的代数元，于是 \(F(\alpha_2, \dots, \alpha_m)(\beta_1, \dots, \beta_k)\) 是 \(F(\alpha_2, \dots, \alpha_m)\) 的代数扩域。另一方面 \(E\) 是 \(F(\beta_1, \dots, \beta_k)\) 的代数扩域，故 \(E\) 是 \(F(\alpha_2, \dots, \alpha_m)(\beta_1, \dots, \beta_k)\) 的代数扩域。由此将推出 \(E\) 是 \(F(\alpha_2, \dots, \alpha_m)\) 的代数扩域，与 \(\alpha_1\) 在 \(F(\alpha_2, \dots, \alpha_m)\) 上超越矛盾。证毕。

设 \(E = F(\alpha)\)，\(\alpha\) 是 \(F\) 上的超越元，\(\beta\) 是 \(E\) 中元但不属于 \(F\)，令 \(\beta = f(\alpha)/g(\alpha)\)，其中 \(f, g\) 是 \(F\) 上的互素多项式。又设 \[ f(\alpha) = a_0 + a_1\alpha + \cdots + a_n\alpha^n, \qquad g(\alpha) = b_0 + b_1\alpha + \cdots + b_n\alpha^n, \] 这里 \(a_n \neq 0\) 或 \(b_n \neq 0\)，即 \(n = \max\{\deg f, \deg g\}\)。由 \(\beta = f(\alpha)/g(\alpha)\) 得到 \(f(\alpha) - \beta g(\alpha) = 0\)，即 \[ (a_n - \beta b_n)\alpha^n + (a_{n-1} - \beta b_{n-1})\alpha^{n-1} + \cdots + (a_0 - \beta b_0) = 0. \] 由于 \(\beta\) 不属于 \(F\)，而 \(a_n\) 和 \(b_n\) 属于 \(F\) 且两者不全为零，故 \(a_n - \beta b_n\) 不等于零。\(\alpha\) 适合一个 \(F(\beta)\) 上的 \(n\) 次多项式： \[ (a_n - \beta b_n)x^n + (a_{n-1} - \beta b_{n-1})x^{n-1} + \cdots + (a_0 - \beta b_0) = 0. \]

引理 12-1：\(E, F, \alpha, \beta, f, g\) 同上，\(n = \max\{\deg f, \deg g\}\)，则 \(\alpha\) 是域 \(F(\beta)\) 上的代数元且 \(f(x) - \beta g(x)\) 是 \(F(\beta)\) 上的不可约多项式，从而 \([E:F(\beta)] = n\)。

证明：由上述说明知 \(\alpha\) 是 \(F(\beta)\) 上的代数元。现证明 \(f(x) - \beta g(x)\) 不可约。注意到 \(\beta\) 必是 \(F\) 上的超越元，因为否则 \(E\) 是 \(F(\beta)\) 的代数扩张将导致 \(E\) 是 \(F\) 的代数扩张而与已知矛盾。考虑环 \(F[\beta, x] = F[\beta][x]\)。由 §3.8 中的引理 8-4 知，若一个 \(x\) 的多项式在 \(F[\beta]\) 上不可约，则它必在 \(F(\beta)\) 上不可约，因此我们只须证明 \(f(x) - \beta g(x)\) 是 \(F[\beta, x]\) 中的不可约多项式就可以了。多项式 \(f(x) - \beta g(x)\) 中 \(\beta\) 的次数为 1。如果它可约，其中必有一个因子不含 \(\beta\)，记之为 \(d(x)\)，于是 \[ f(x) - \beta g(x) = d(x)[q(x) + \beta t(x)]. \] 比较 \(\beta\) 的次数即知 \(d(x)\) 是 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 的公因子，与假定矛盾，结论成立。证毕。

Lüroth 定理的证明：设 \(K\) 是 \(E = F(\alpha)\) 与 \(F\) 的中间域且 \(K\) 不等于 \(F\)，则 \(K\) 含有一个不属于 \(F\) 的元素 \(\gamma\)。这时 \(E\) 是 \(F(\gamma)\) 的代数扩张，从而 \(E\) 也是 \(K\) 的代数扩张。记 \(\alpha\) 在 \(K\) 上的极小多项式为 \(f(x) = x^n + b_1x^{n-1} + \cdots + b_n\)，其中每一个 \(b_i\) 都属于 \(K\)。因此可以假定 \(b_i = g_i(\alpha)/h_i(\alpha)\)，\(g_i, h_i\) 为 \(F\) 上的多项式。用适当的关于 \(\alpha\) 的多项式乘以 \(f(x)\) 后便得到一个 \(F[\alpha, x]\) 中的多项式： \[ f(\alpha, x) = c_0(\alpha)x^n + c_1(\alpha)x^{n-1} + \cdots + c_n(\alpha). \tag{2} \] 我们不妨假定 \(f(\alpha, x)\) 是 \(F[\alpha][x]\) 中的本原多项式，即 \(c_i(\alpha)\) 的最大公因子为 1。又 \(b_i = c_i(\alpha)/c_0(\alpha)\) 是 \(K\) 中元素。但因为 \(\alpha\) 是 \(F\) 上的超越元，它们不全在 \(F\) 中。设其中某个 \(b_i\)（记之为 \(\beta\)）不在 \(F\) 中，且 \(\beta = g(\alpha)/h(\alpha)\)，\(g, h\) 是 \(F\) 上的多项式且无非平凡的公因子。又设 \(\max\{\deg h, \deg g\} = m\)。由上述引理知道 \(g(x) - \beta h(x)\) 是 \(F(\beta)\) 上不可约多项式且 \([E:F(\beta)] = m\)。由于 \(K\) 包含 \(F(\beta)\)，\([E:K] = n\)，故 \(m \geqslant n\)。一旦能够证明 \(m = n\)，即可得到 \(K = F(\beta)\)。

由于 \(\alpha\) 是 \(g(x) - \beta h(x) = 0\) 的根且这个多项式的系数在 \(K\) 中，故在 \(K\) 上，\(g(x) - \beta h(x) = f(x)q(x)\)。将 \(\beta = g(\alpha)/h(\alpha)\) 代入后可得 \[ g(x)h(\alpha) - g(\alpha)h(x) = f(x)q(x)h(\alpha). \] 注意到 \(f\) 与 \(q\) 的系数都在 \(K\) 上，它们都是 \(\alpha\) 的有理函数，于是乘以一个适当的 \(\alpha\) 的多项式以后，便可以得到 \(F[\alpha, x]\) 中的等式： \[ k(\alpha)[g(x)h(\alpha) - g(\alpha)h(x)] = f(\alpha, x)q(\alpha, x). \tag{3} \] 其中 \(f(\alpha, x)\) 如 (2) 式所示。由于 \(f(\alpha, x)\) 是 \(x\) 的本原多项式，故 \(k(\alpha)\) 可以整除 \(q(\alpha, x)\)。消去 \(k(\alpha)\) 后 (3) 式变为： \[ g(x)h(\alpha) - g(\alpha)h(x) = f(\alpha, x)p(\alpha, x). \tag{4} \] (4) 式中右边关于 \(\alpha\) 的次数至多为 \(m\)。而 \(\beta = g(\alpha)/h(\alpha)\)，\(g(\alpha)\) 与 \(h(\alpha)\) 互素且 \(\max\{\deg h, \deg g\} = m\)，因此 \(f(\alpha, x)\) 中 \(\alpha\) 的次数至少为 \(m\)。这表明 \(f(\alpha, x)\) 中 \(\alpha\) 的次数恰好为 \(m\)，\(p(\alpha, x)\) 中 \(\alpha\) 的次数为零，即 \(p(\alpha, x) \in F[x]\)。于是在 \(F[\alpha, x] = F[\alpha][x]\) 中，\(g(x)h(\alpha) - g(\alpha)h(x) = f(\alpha, x)p(x)\)，\(p(x) \in F[x]\)。所以 (4) 式右边是一个 \(x\) 的本原多项式，当然左边也是 \(x\) 的本原多项式。另一方面，(4) 式左边关于 \(x, \alpha\) 对称（差一个负号），因此它也是一个关于 \(\alpha\) 的本原多项式。这样，(4) 式右边是 \(\alpha\) 的本原多项式，因此有 \(p(\alpha, x) \in F\)，即 \(p(\alpha, x)\) 是一个 \(F\) 上的常数多项式。这说明 \(f(\alpha, x)\) 中 \(\alpha\) 的次数应该等于 \(x\) 的次数，即 \(m = n\)。证毕。